Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
88) integral (3 x-1) d xx^2-x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse tipo de integral envolve funções racionais, onde temos um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver, vamos usar métodos de integração como a substituição e o completar o quadrado no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador ddx(x^2 - x + 1) = 2x - 1 . Para facilitar a integração, queremos que o numerador seja parecido com a derivada do denominador. Calculando a derivada do denominador:
3x - 1 = A(2x - 1) + B
Agora, vamos tentar expressar o numerador em termos dessa derivada:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos resolver para 3x - 1 = 2A x - A + B e 2A = 3 Rightarrow A = 32 :
- A + B = -1 Rightarrow -32 + B = -1 Rightarrow B = 12
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
3x - 1x^2 - x + 1 = 32 cdot 2x - 1x^2 - x + 1 + 12 cdot 1x^2 - x + 1
Então, conseguimos reescrever o numerador:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada parte separadamente:
integral 3x - 1x^2 - x + 1 , dx = 32 integral 2x - 1x^2 - x + 1 , dx + 12 integral 1x^2 - x + 1 , dx
A primeira integral é direta porque 32 ln|x^2 - x + 1| + 12 integral 1x^2 - x + 1 , dx é a derivada do denominador. Então, temos:
x^2 - x + 1 = (x - 12)^2 + 34
Para a segunda integral, vamos completar o quadrado no denominador:
12 integral 1(x - 12)^2 + (raiz32)^2 , dx
Então, a integral fica:
integral 1u^2 + a^2 , du = 1a arctan(ua) + C
Sabemos que:
12 cdot 2raiz3 arctan(2x - 1raiz3) = 1raiz3 arctan(2x - 1raiz3)
Aplicando isso, temos:

Resposta

A solução da integral é:
32 ln(x^2 - x + 1) + 1raiz3 arctan(2x - 1raiz3) + C

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