Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
103) integral ln (x+3) d x

Passo 1

Então, a gente tem a integral indefinida . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente utilizando o método de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente precisa escolher quais partes da nossa integral serão e . No caso, vamos deixar e .

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx ln(x + 3) , dx = 1x + 3 , dx e v = integral dv = integral dx = x :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral ln(x + 3) , dx = uv - integral v , du = x cdot ln(x + 3) - integral x cdot 1x + 3 , dx

Passo 5

Vamos simplificar a integral que restou:
integral xx + 3 , dx
Podemos reescrever a fração dividindo xx + 3 = 1 - 3x + 3 por :

Passo 6

Então, a integral fica:
integral (1 - 3x + 3) , dx = integral 1 , dx - 3 integral 1x + 3 , dx
Calculando cada parte:
integral 1 , dx = x
integral 1x + 3 , dx = ln|x + 3|

Passo 7

Substituindo de volta:
integral xx + 3 , dx = x - 3 ln|x + 3|

Passo 8

Voltando à nossa expressão original:
integral ln(x + 3) , dx = x ln(x + 3) - ( x - 3 ln(x + 3) )

Passo 9

Simplificando a expressão:
x ln(x + 3) - x + 3 ln(x + 3) = (x + 3) ln(x + 3) - x

Resposta

A integral (x + 3) ln(x + 3) - x + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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