Para uma dupla camada elétrica, sabe-se que a capacitância da camada compacta é de 3,0 times 10^-5 F. A capacitância da camada difusa é uma função da espessura (L) e é dada pela equação:
Cd i f f(F)=3,4515 times 10^-13 F mmL(mm)
a) Calcule a capacitância total de uma dupla camada elétrica cuja camada difusa tenha 20 nm de espessura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre dupla camada elétrica! O enunciado nos diz que temos duas camadas: a camada compacta com uma capacitância de Cdiff(F) = 3,4515 times 10^-13 , F cdot mmL(mm) e a camada difusa cuja capacitância depende da espessura . A equação para a capacitância da camada difusa é:
Nosso objetivo é calcular a capacitância total dessa dupla camada elétrica quando a camada difusa tem 20 nm de espessura. Para isso, vamos precisar entender como combinar as capacitâncias em uma dupla camada elétrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter a espessura da camada difusa de nanômetros para milímetros, já que a equação da capacitância difusa está em milímetros. Sabemos que:
1 , nm = 1 times 10^-6 , mm
Então, para 20 nm:
L = 20 , nm = 20 times 10^-6 , mm = 2,0 times 10^-5 , mm

Passo 3

Agora, vamos calcular a capacitância da camada difusa usando a fórmula fornecida:
Cdiff = 3,4515 times 10^-13 , F cdot mmL
Substituindo Cdiff = 3,4515 times 10^-132,0 times 10^-5 = 1,72575 times 10^-8 , F :

Passo 4

Agora que temos as duas capacitâncias:
  • 1Ctotal = 1Ccompact + 1Cdiff
Precisamos encontrar a capacitância total da dupla camada elétrica. Geralmente, quando temos duas capacitâncias em série, como é o caso das camadas compacta e difusa, a capacitância total é dada por:

Passo 5

Vamos calcular 1Ctotal = 13,0 times 10^-5 + 11,72575 times 10^-8 :
13,0 times 10^-5 = 3,3333 times 10^4 , F^-1
Calculando cada termo:
11,72575 times 10^-8 approx 5,7935 times 10^7 , F^-1
1Ctotal = 3,3333 times 10^4 + 5,7935 times 10^7 approx 5,7938 times 10^7 , F^-1
Somando os dois valores:

Passo 6

Agora, invertendo para encontrar Ctotal = 15,7938 times 10^7 approx 1,7257 times 10^-8 , F :

Resposta

A capacitância total da dupla camada elétrica é aproximadamente .

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