A duração da vida (L), em meses, de uma dada válvula eletrônica empregada em aparelhos de radar, foi verificada ser exponencialmente distribuída com parâmetro =1. Ao executar seu programa de manutenção preventiva, uma companhia quer decidir o seguinte: quantos meses depois de sua instalação, cada válvula deverá ser substituída com 0,75 de confiabilidade?
a.
0,045 mês, aproximadamente.
b.
1 mês, aproximadamente.
c.
1 dia, aproximadamente.
d.
8 dias, aproximadamente.
e.
18 horas, aproximadamente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a duração da vida de uma válvula eletrônica, medida em meses, que segue uma distribuição exponencial com parâmetro λ = 1. A empresa quer saber após quantos meses ela deve substituir a válvula para garantir que há 75% de confiabilidade, ou seja, que a válvula ainda esteja funcionando com 75% de certeza. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição exponencial e probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a distribuição exponencial. Essa distribuição é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como a vida útil de um equipamento. A função de sobrevivência, que nos dá a probabilidade de a válvula ainda estar funcionando após um certo tempo t, é dada por:
P(L > t) = e^-lambda t
Aqui, $ \lambda $ é o parâmetro da distribuição, que no nosso caso é 1.

Passo 3

A empresa quer uma confiabilidade de 75%, ou seja, queremos que:
P(L > t) = 0,75
Substituindo na fórmula da função de sobrevivência:
e^-t = 0,75

Passo 4

Para encontrar t, vamos resolver essa equação para t. Primeiro, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados da equação para facilitar:
ln(e^-t) = ln(0,75)
Sabemos que $ \ln(e^{-t}) = -t $, então:
ln(e^-t) = -t

Passo 5

Agora, basta isolar o t:
t = -ln(0,75)
Vamos calcular o valor de $ \ln(0,75) $:
ln(0,75)
Portanto:
ln(0,75) approx -0,28768207
t approx -(-0,28768207)

Passo 6

Agora, para entender melhor, vamos converter esse tempo de meses para dias. Sabendo que 1 mês tem aproximadamente 30 dias:
0,28768207 meses times 30 dias/mês approx 8,63 dias ê

Resposta

A válvula deve ser substituída aproximadamente 8 dias após a instalação para garantir 75% de confiabilidade. A opção correta é a d. 8 dias, aproximadamente.

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