De maneira simples, podemos dizer que uma função contínua é aquela
na qual quando desenhamos o gráfico, a função não possui saltos ou
quebras em seu domínio, ou ainda, função contínua é quando
conseguimos desenhar o gráfico completo sem precisar interromper a
linha desenhada. Uma função f(x) é contínua em x = a se satisfazer três
condições:
  1. f(a) está definida
    II) limf(x) existir
    III) limf(x) = f(a)
    É(são) correta(s):
    x-a
    x-a
    O a. Apenas II
    O b. Apenas III
    O c. Apenas
    O d. I, II e III
    O e. ll e III

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções contínuas, que são aquelas que têm gráficos sem saltos ou quebras – ou seja, dá pra desenhar todo o gráfico de uma vez, sem levantar o lápis. Precisamos saber as três condições que uma função f(x) deve atender pra ser contínua em um ponto x = a:
  1. f(a) está definida.
  2. O limite de f(x) quando x se aproxima de a existe.
  3. O limite de f(x) quando x se aproxima de a é igual a f(a).
Vamos verificar qual das alternativas está correta com base nessas condições.

Passo 2

Primeiro, entenda cada condição:
  1. f(a) está definida: Isso significa que, no ponto a, a função tem um valor específico. Se f(a) não existe, a função não pode ser contínua nesse ponto.
  2. lim f(x) existe: O limite de f(x) quando x se aproxima de a precisa existir. Se o limite não existe, a função tem um comportamento estranho perto de a e não é contínua.
  3. lim f(x) = f(a): O valor que f(x) se aproxima quando x está perto de a (o limite) tem que ser exatamente igual ao valor de f(a).

Passo 3

Agora, vamos analisar as alternativas:
  • a. Apenas II: Só o limite existe, mas não sabemos se f(a) está definida ou se o limite é igual a f(a). Não garante continuidade.
  • b. Apenas III: Só o limite ser igual a f(a) não garante que f(a) está definida ou que o limite existe de fato.
  • c. Apenas I: (Presumindo que seja apenas a condição I) Só ter f(a) definida não garante que a função é contínua.
  • d. I, II e III: Todas as três condições são necessárias para a continuidade. Se todas forem verdadeiras, a função é contínua em a.
  • e. II e III: Ter o limite e que ele seja igual a f(a) é bom, mas ainda precisamos que f(a) esteja definida.

Passo 4

Portanto, a única alternativa que satisfaz todas as três condições para a continuidade é a opção d.

Resposta

A opção d. I, II e III está correta.

Exercícios relacionados