- (UFPR-2020) Um gás ideal monoatômico sofre uma transformação como a indicada no diagrama P versus V, em que P é a pressão e V é o volume do gás, passando de um estado A para um estado B. Com base nos dados apresentados, determine o que se pede. P (MPa) B - 2,0 1,5 1,0 A/ 0 5 10 15 V(m) a) Qual é o trabalho WAB realizado pelo gás ao passar do estado A para o estado B? b) Sabendo-se que a temperatura do gás no estado A vale TA= 100 K, qual é a temperatura Te do gás no estado B?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um gás ideal monoatômico que passa do estado A para o estado B num gráfico de Pressão § versus Volume (V). Precisamos descobrir duas coisas:
a) O trabalho feito pelo gás nessa transformação.
b) A temperatura do gás no estado B, sabendo que no estado A a temperatura é 100 K.
a) O trabalho feito pelo gás nessa transformação.
b) A temperatura do gás no estado B, sabendo que no estado A a temperatura é 100 K.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente o cálculo de trabalho em processos de expansão/compressão e a lei dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o trabalho realizado pelo gás quando ele se expande ou comprime. O trabalho (W) em um processo termodinâmico pode ser calculado pela área sob a curva no gráfico P versus V. Matematicamente, é dado por:
Agora, precisamos saber qual é a relação entre P e V durante a transformação para poder integrar.
Passo 3
Observando o gráfico P versus V, notamos que a pressão diminui à medida que o volume aumenta, sugerindo que temos um processo de expansão. Vamos supor que a transformação seja adiabática, já que não foi especificado o tipo de processo. Para um gás ideal monoatômico em um processo adiabático, a relação entre P e V é:
Onde
(gama) é o coeficiente adiabático, que para gases monoatômicos é $ \gamma = \frac{5}{3} $.
Passo 4
Com essa relação, podemos expressar P em função de V:
Para calcular o trabalho, precisamos integrar $ P $ em relação a $ V $:
Vamos calcular essa integral.
Passo 5
A integral fica:
Sabendo que
, substituímos:
Integrando:
Passo 6
Para encontrar a constante, usamos a condição inicial no estado A:
Substituindo na expressão de W:
Precisamos dos valores de $ V_A $ e $ V_B $ para prosseguir. Supondo que $ V_A = 5 , m^3 $ e $ V_B = 15 , m^3 $:
Calculando:
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular a temperatura no estado B usando a lei dos gases ideais:
Como o número de mols (n) e a constante dos gases ® permanecem iguais, podemos relacionar os estados A e B:
Rearranjando para encontrar $ T_B $:
Substituindo os valores:
Resposta
a) O trabalho realizado pelo gás ao passar do estado A para o estado B é aproximadamente 0,327 MPa·m³.
b) A temperatura do gás no estado B é 150 K.