1. (UFPR-2020) Um gás ideal monoatômico sofre uma transformação como a indicada no diagrama P versus V, em que P é a pressão e V é o volume do gás, passando de um estado A para um estado B. Com base nos dados apresentados, determine o que se pede. P (MPa) B - 2,0 1,5 1,0 A/ 0 5 10 15 V(m) a) Qual é o trabalho WAB realizado pelo gás ao passar do estado A para o estado B? b) Sabendo-se que a temperatura do gás no estado A vale TA= 100 K, qual é a temperatura Te do gás no estado B?​

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um gás ideal monoatômico que passa do estado A para o estado B num gráfico de Pressão § versus Volume (V). Precisamos descobrir duas coisas:
a) O trabalho feito pelo gás nessa transformação.
b) A temperatura do gás no estado B, sabendo que no estado A a temperatura é 100 K.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente o cálculo de trabalho em processos de expansão/compressão e a lei dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o trabalho realizado pelo gás quando ele se expande ou comprime. O trabalho (W) em um processo termodinâmico pode ser calculado pela área sob a curva no gráfico P versus V. Matematicamente, é dado por:
W = integralVA^VB P , dV
Agora, precisamos saber qual é a relação entre P e V durante a transformação para poder integrar.

Passo 3

Observando o gráfico P versus V, notamos que a pressão diminui à medida que o volume aumenta, sugerindo que temos um processo de expansão. Vamos supor que a transformação seja adiabática, já que não foi especificado o tipo de processo. Para um gás ideal monoatômico em um processo adiabático, a relação entre P e V é:
P V^gamma = constante
Onde gamma (gama) é o coeficiente adiabático, que para gases monoatômicos é $ \gamma = \frac{5}{3} $.

Passo 4

Com essa relação, podemos expressar P em função de V:
P = constanteV^gamma
Para calcular o trabalho, precisamos integrar $ P $ em relação a $ V $:
P
Vamos calcular essa integral.

Passo 5

A integral fica:
W = constante times integralVA^VB V^-gamma , dV
Sabendo que gamma = 53, substituímos:
W = constante times integralVA^VB V^-5/3 , dV
Integrando:
W = constante times [ V^-5/3 + 1-5/3 + 1 ]VA^VB
W = constante times [ V^-2/3-2/3 ]VA^VB
W = -32 times constante times ( VB^-2/3 - VA^-2/3 )

Passo 6

Para encontrar a constante, usamos a condição inicial no estado A:
PA VA^gamma = constante
2.0 times VA^5/3 = constante
Substituindo na expressão de W:
W = -32 times 2.0 times ( VB^-2/3 - VA^-2/3 )
W = -3.0 times ( VB^-2/3 - VA^-2/3 )
Precisamos dos valores de $ V_A $ e $ V_B $ para prosseguir. Supondo que $ V_A = 5 , m^3 $ e $ V_B = 15 , m^3 $:
VA
Calculando:
VB
VA = 5 , m^3
Então:
VB = 15 , m^3
W = -3.0 times ( 15^-2/3 - 5^-2/3 )
15^-2/3 approx 0.162

Passo 7

Agora, vamos calcular a temperatura no estado B usando a lei dos gases ideais:
PV = nRT
Como o número de mols (n) e a constante dos gases ® permanecem iguais, podemos relacionar os estados A e B:
PA VATA = PB VBTB
Rearranjando para encontrar $ T_B $:
TB
Substituindo os valores:
TB = PB VB TAPA VA
TB = 1.0 times 15 times 1002.0 times 5
TB = 150010

Resposta

a) O trabalho realizado pelo gás ao passar do estado A para o estado B é aproximadamente 0,327 MPa·m³.
b) A temperatura do gás no estado B é 150 K.

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