(Uece 2014) Se p e q são duas soluções da equação 2sen²x-3senx+1=0 tais que senp ≠ senq, então o valor da expressão sen²p-cos²q é igual a:
a)0
b)0,25
c)0,50
d)1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação trigonométrica: . Nosso objetivo é encontrar duas soluções dessa equação, chamadas 2sin^2x - 3sinx + 1 = 0 e p, onde q. Depois, a gente precisa calcular o valor de sin p neq sin q. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação . Essa é uma equação quadrática em termos de , então podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.
A equação está na forma , onde:
  • 2sin^2x - 3sinx + 1 = 0
  • sinx
  • asin^2x + bsinx + c = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, temos duas soluções para :

Passo 3

Agora, sabemos que sin p e sin q são essas duas soluções diferentes, ou seja:
sin p = 1 e sin q = 12
ou vice-versa. Como sin p neq sin q, temos essas duas possibilidades distintas.

Passo 4

Precisamos encontrar sin^2p - cos^2q. Vamos calcular cada parte:
Primeiro, sin^2p:
sin^2p = (1)^2 = 1
Agora, cos^2q. Sabemos que sin^2q + cos^2q = 1, então:
cos^2q = 1 - sin^2q = 1 - (12)^2 = 1 - 14 = 34

Passo 5

Agora, substituímos os valores encontrados na expressão sin^2p - cos^2q:
sin^2p - cos^2q = 1 - 34 = 14 = 0,25

Resposta

A expressão sin^2p - cos^2q é igual a 0,25.

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