Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos faltaram à festa e não participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns compraram três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e muitos compraram apenas um. O total de alunos que comprou um único bilhete era 20% do número total de bilhetes vendidos, e o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio. Quantos alunos compraram somente um bilhete?
a) 34
b) 42
c) 47
d) 48
e) 79

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de algebra básica envolvendo porcentagens e equações. Precisamos descobrir quantos alunos compraram somente um bilhete na rifa. Para isso, vamos identificar as informações fornecidas:
  • Total de alunos ausentes: 80
  • Alunos presentes que compraram 2 bilhetes: 45
  • Alunos presentes que compraram 3 bilhetes: uma quantidade desconhecida (vamos chamar de $ x $)
  • Alunos que compraram 1 bilhete: uma quantidade desconhecida (vamos chamar de $ y $)
  • Total de bilhetes vendidos excede o número total de alunos do colégio em 33
  • Os alunos que compraram 1 bilhete representam 20% do total de bilhetes vendidos
Vamos usar equações para resolver isso!

Passo 2

Vamos definir as variáveis:
  • $ N $ = número total de alunos no colégio
  • $ x $ = número de alunos que compraram 3 bilhetes
  • $ y $ = número de alunos que compraram 1 bilhete
Sabemos que 80 alunos faltaram, então os presentes são $ N - 80 $.
Como 45 compraram 2 bilhetes e $ x $ compraram 3 bilhetes, temos:
N

Passo 3

Agora, vamos calcular o total de bilhetes vendidos. Cada aluno que comprou 3 bilhetes contribui com 3 bilhetes, os que compraram 2 contribuem com 2, e os que compraram 1, obviamente, com 1:
Total de bilhetes = 3x + 2 times 45 + y = 3x + 90 + y
Sabemos que esse total excede o número total de alunos em 33:
3x + 90 + y = N + 33

Passo 4

Também foi dado que os alunos que compraram 1 bilhete ($ y $) representam 20% do total de bilhetes vendidos:
y
Vamos resolver essa equação para $ y $:
Multiplicando ambos os lados por 5 para eliminar a fração:
y = 0,2 times (3x + 90 + y)
Subtraindo $ y $ de ambos os lados:
y
Então:
5y = 3x + 90 + y

Passo 5

Agora, temos duas equações:
  1. $ x + 45 + y = N - 80 $  (Alunos presentes)
  2. $ 3x + 90 + y = N + 33 $  (Bilhetes vendidos)
Vamos substituir $ N $ da primeira equação na segunda. Primeiro, isolamos $ N $ na primeira:
x + 45 + y = N - 80
Substituindo na segunda equação:
3x + 90 + y = N + 33
Simplificando:
N
Subtraindo $ x + y $ de ambos os lados:
N
Resolvendo para $ x $:
N = x + 45 + y + 80 = x + y + 125
3x + 90 + y = (x + y + 125) + 33

Passo 6

Agora que sabemos que $ x = 34 $, podemos encontrar $ y $ usando a equação que obtivemos anteriormente:
x = 34

Resposta

48 alunos compraram somente um bilhete.

Exercícios relacionados