Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos faltaram à festa e não participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns compraram três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e muitos compraram apenas um. O total de alunos que comprou um único bilhete era 20% do número total de bilhetes vendidos, e o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio. Quantos alunos compraram somente um bilhete?
a) 34
b) 42
c) 47
d) 48
e) 79
a) 34
b) 42
c) 47
d) 48
e) 79
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de algebra básica envolvendo porcentagens e equações. Precisamos descobrir quantos alunos compraram somente um bilhete na rifa. Para isso, vamos identificar as informações fornecidas:
- Total de alunos ausentes: 80
- Alunos presentes que compraram 2 bilhetes: 45
- Alunos presentes que compraram 3 bilhetes: uma quantidade desconhecida (vamos chamar de $ x $)
- Alunos que compraram 1 bilhete: uma quantidade desconhecida (vamos chamar de $ y $)
- Total de bilhetes vendidos excede o número total de alunos do colégio em 33
- Os alunos que compraram 1 bilhete representam 20% do total de bilhetes vendidos
Vamos usar equações para resolver isso!
Passo 2
Vamos definir as variáveis:
- $ N $ = número total de alunos no colégio
- $ x $ = número de alunos que compraram 3 bilhetes
- $ y $ = número de alunos que compraram 1 bilhete
Sabemos que 80 alunos faltaram, então os presentes são $ N - 80 $.
Como 45 compraram 2 bilhetes e $ x $ compraram 3 bilhetes, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o total de bilhetes vendidos. Cada aluno que comprou 3 bilhetes contribui com 3 bilhetes, os que compraram 2 contribuem com 2, e os que compraram 1, obviamente, com 1:
Sabemos que esse total excede o número total de alunos em 33:
Passo 4
Também foi dado que os alunos que compraram 1 bilhete ($ y $) representam 20% do total de bilhetes vendidos:
Vamos resolver essa equação para $ y $:
Multiplicando ambos os lados por 5 para eliminar a fração:
Subtraindo $ y $ de ambos os lados:
Então:
Passo 5
Agora, temos duas equações:
- $ x + 45 + y = N - 80 $ (Alunos presentes)
- $ 3x + 90 + y = N + 33 $ (Bilhetes vendidos)
Vamos substituir $ N $ da primeira equação na segunda. Primeiro, isolamos $ N $ na primeira:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Subtraindo $ x + y $ de ambos os lados:
Resolvendo para $ x $:
Passo 6
Agora que sabemos que $ x = 34 $, podemos encontrar $ y $ usando a equação que obtivemos anteriormente:
Resposta
48 alunos compraram somente um bilhete.