Durante uma viagem à praia (
), um automóvel fica sem gasolina, e se torna necessário tirar com sifão a gasolina do automóvel de um bom samaritano. O sifão é uma mangueira com diâmetro pequeno, e para iniciar o bombeamento é preciso inserir um lado do sifão no tanque de gasolina cheio, encher a mangueira com gasolina por sucção e, em seguida, colocar o outro lado em uma lata de gasolina abaixo do nível do tanque de gasolina. A diferença de pressão entre o ponto 1 (na superfície livre de gasolina do tanque) e o ponto 2 (saída do tubo) faz com que o líquido escoe da elevação mais alta para o mais baixa. O ponto 2 está localizado
abaixo do ponto 1 e o ponto 3 (ponto mais alto do sifão) está localizado 2 m acima do ponto 1 . O diâmetro do sifão é de 5 mm , e as perdas por atrito no sifão devem ser desprezados. Determine: (a) o tempo mínimo para retirar 4 L de gasolina do tanque para a lata
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um carro que ficou sem gasolina e estamos usando um sifão para transferir 4 litros de gasolina para uma lata. A gente sabe que a pressão atmosférica é de 1 atm e a temperatura é de 20°C. O sifão tem um diâmetro de 5 mm, e a diferença de altura entre os pontos importantes é de 2 m acima e 0,75 m abaixo da superfície da gasolina no tanque. A gente quer descobrir quanto tempo vai levar para tirar esses 4 litros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física dos fluidos, mais especificamente a equação de Bernoulli, que relaciona velocidade do fluido, pressão e altura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a gasolina vai fluir pelo sifão. A diferença de altura entre o ponto mais alto do sifão (2 m acima) e o ponto de saída (0,75 m abaixo) cria uma diferença de pressão que vai empurrar a gasolina através da mangueira. Vamos usar a equação de Bernoulli para relacionar essas diferenças:
Onde:
- $ P $ é a pressão
- $ \rho $ é a densidade da gasolina
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aprox.
) - $ h $ é a altura
- $ v $ é a velocidade do fluido
Como a mangueira está cheia de gasolina e considerando que o ponto 1 está na superfície livre do tanque, a velocidade $ v_1 $ é praticamente zero. Além disso, como estamos desprezando as perdas por atrito, a equação simplifica bastante.
Passo 3
Vamos simplificar a equação de Bernoulli com as considerações que fizemos:
Como as pressões atmosféricas $ P_{atm} $ se cancelam, ficamos com:
Podemos dividir todos os termos por $ \rho $ (densidade), já que ela não é zero:
Agora, reorganizando para encontrar $ v_2 $:
Substituindo os valores:
Então:
Passo 4
Agora que temos a velocidade da gasolina na saída do sifão ($ v_2 $), vamos calcular a taxa de fluxo (fluxo volumétrico) usando a área da mangueira. A área $ A $ de um círculo é dada por:
O diâmetro da mangueira é 5 mm, então o raio $ r $ é 2,5 mm ou 0,0025 m.
A taxa de fluxo $ Q $ é:
Convertendo para litros por segundo (já que 1 $ m^3 $ = 1000 litros):
Passo 5
Finalmente, queremos saber quanto tempo $ t $ leva para transferir 4 litros de gasolina. Usamos a relação:
Resposta
O tempo mínimo para retirar 4 litros de gasolina do tanque para a lata é aproximadamente 28 segundos.