Um duto retangular de chapa de aço comercial (rugosidade 0,045 mm ) de 0,3 times 0,6 m é utilizado para aquecer uma vazão de ar de 2 m^3 / s de 20^circ C a 40^circ C, através de um sistema de resistências elétricas que garantem um fluxo de calor constante. Calcule: c) O comprimento que deve ter o duto para que a temperatura da parede na saída não ultrapasse 60^circ C ?(1,0)

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um duto retangular de aço com dimensões de 0,3m por 0,6m e uma rugosidade de 0,045 mm. Esse duto está aquecendo um fluxo de ar de 2 m³/s, aumentando a temperatura do ar de 20°C para 40°C usando resistências elétricas que fornecem um fluxo de calor constante. A pergunta é: qual o comprimento que o duto deve ter para que a temperatura da parede na saída não passe de 60°C?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por convecção, equilíbrio de energia e propriedades do fluxo de ar. Vamos dividir a resolução em etapas claras.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o fluxo de calor necessário para aquecer o ar de 20°C para 40°C. Usamos a fórmula:
Q = dotm cdot cp cdot De
onde:
  • é o fluxo de calor (W),
  • é a taxa de massa do ar (kg/s),
  • é a capacidade calórica do ar (aproximadamente 1005 J/kg·°C),
  • é a variação de temperatura (°C).

Passo 3

Para encontrar dotm = rho cdot dotV , a taxa de massa, usamos:
dotm = 1,2 , kg/m³ times 2 , m³/s = 2,4 , kg/s
onde:
  • é a densidade do ar (aproximadamente 1,2 kg/m³ a 20°C),
  • é a vazão volumétrica (2 m³/s).
Calculando:
³³

Passo 4

Agora, calculamos o fluxo de calor Q = 2,4 , kg/s times 1005 , J/kg·°C times (40°C - 20°C) :
Q = 2,4 times 1005 times 20 = 48.240 , W

Passo 5

Sabemos que o fluxo de calor também pode ser expresso pela convecção na parede do duto:
Q = h cdot A cdot De
onde:
  • De é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • é a área de transferência de calor,
  • é a diferença de temperatura entre a parede e o ar.
Queremos que a temperatura da parede não ultrapasse 60°C na saída, então:

Passo 6

Precisamos encontrar o coeficiente de transferência de calor h = 0,023 cdot Re^0,8 cdot Pr^0,4 cdot kDh . Para fluxo de ar em dutos, podemos usar correlações como a de Dittus-Boelter para escoamentos turbulentos:
onde:
  • é o número de Reynolds,
  • é o número de Prandtl,
  • é a condutividade térmica do ar (aproximadamente 0,026 W/m·°C),
  • é o diâmetro hidráulico do duto.

Passo 7

Calculamos o diâmetro hidráulico Dh = 2aba + b para um duto retangular:
Dh = 2 times 0,3 times 0,60,3 + 0,6 = 0,360,9 = 0,4 , m
onde:
  • ,
  • .

Passo 8

Calculamos o número de Reynolds Re = rho cdot v cdot Dhmu :
v = dotVA
onde:
  • A = a times b = 0,3 times 0,6 = 0,18 , m² é a velocidade do ar,
  • v = 20,18 approx 11,11 , m/s é a viscosidade dinâmica do ar (aproximadamente Re = 1,2 times 11,11 times 0,41,8 times 10^-5 approx 2,96 times 10^4 ).
Primeiro, encontramos a velocidade :
²
Agora, calculamos :

Passo 9

Calculamos o número de Prandtl Pr = cp cdot muk :
Pr = 1005 times 1,8 times 10^-50,026 approx 0,697

Passo 10

Agora, calculamos h = 0,023 cdot (2,96 times 10^4)^0,8 cdot (0,697)^0,4 cdot 0,0260,4 :
(2,96 times 10^4)^0,8 approx 2,57 times 10^3
Calculando cada parte:
(0,697)^0,4 approx 0,857
0,0260,4 = 0,065
h = 0,023 times 2,57 times 10^3 times 0,857 times 0,065 approx 3,24 , W/m²·°C
Então:
²

Passo 11

Agora, usando a fórmula da convecção para encontrar a área Q = h cdot A cdot De:
48.240 = 3,24 times A times 20
A = 48.2403,24 times 20 approx 744 , m²
²

Passo 12

Sabendo que a área A = 2(a + b) cdot L de um duto retangular é:
L = A2(a + b)
Onde L = 7442(0,3 + 0,6) = 7442 times 0,9 = 7441,8 approx 413,33 , m é o comprimento do duto.
Rearranjando para encontrar :

Resposta

O comprimento do duto deve ser de aproximadamente 413,33 metros para que a temperatura da parede na saída não ultrapasse 60°C.

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