Um duto retangular interplanetário de 0,5 m x 0,2 m e comprimento de 1m, contém eletrônicos que dissipam 250W. Se a superfície do duto possui uma emissividade de 0,7 e não recebe radiação de outras fontes como, por exemplo, o sol, qual é a sua temperatura superficial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um duto retangular interplanetário que tem dimensões de 0,5 m x 0,2 m x 1 m e que contém eletrônicos que dissipam 250 W de potência. A superfície desse duto tem uma emissividade de 0,7 e não está recebendo radiação de fontes externas, como o sol. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a temperatura na superfície desse duto. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Radiação Térmica e usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que nos ajuda a relacionar a potência emitida por um corpo com sua temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área total da superfície do duto. Como o duto é retangular, temos três dimensões: comprimento, largura e altura. No caso, o comprimento é 1 m, a largura é 0,5 m e a altura é 0,2 m. Para encontrar a área total, precisamos somar a área de todas as faces do retângulo.
A área total $ A $ de um paralelepípedo é dada por:
A
onde $ a $, $ b $ e $ c $ são as dimensões do duto.
Substituindo os valores:
A = 2 times (ab + ac + bc)

Passo 3

Agora que temos a área, vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann para relacionar a potência dissipada pelos eletrônicos com a potência irradiada pela superfície do duto. A lei é dada por:
P = epsilon sigma A T^4
onde:
  • $ P $ é a potência irradiada (250 W),
  • $ \epsilon $ é a emissividade da superfície (0,7),
  • $ \sigma $ é a constante de Stefan-Boltzmann ($ 5,67 \times 10^{-8} , W/m2\text{K}4 $),
  • $ A $ é a área calculada (1,6 m²),
  • $ T $ é a temperatura absoluta da superfície em Kelvin, que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para resolver $ T $:
T
Substituindo os valores:
T^4 = Pepsilon sigma A
Primeiro, calculamos o denominador:
T^4 = 2500,7 times 5,67 times 10^-8 times 1,6
Então:
0,7 times 5,67 times 10^-8 times 1,6 = 6,3744 times 10^-8

Passo 5

Para encontrar $ T $, tiramos a raiz quarta de ambos os lados:
T
Convertendo para graus Celsius:
T = raiz[4]3,916 times 10^9 approx 316,5 , K

Resposta

A temperatura superficial do duto é aproximadamente 43,35 °C.

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