Um eixo tubular, pertencente a um sistema mecânico, está sujeito à torção. O tubo está em equilíbrio, no regime elástico, e a tensão cisalhante máxima é de 50MPa. Em relação à sua geometria, as dimensões da parede do tubo e seu diâmetro externo estão na razão 1 12. Determine a razão entre as deformações cisalhantes nas paredes externa e interna do tubo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um eixo tubular que está sendo torcido em um sistema mecânico. O eixo está em equilíbrio e na fase elástica, o que significa que não está se deformando permanentemente. A tensão de cisalhamento máxima que o eixo está suportando é de 50 MPa. Além disso, sabemos que a espessura da parede do tubo e o diâmetro externo estão na razão de 1 para 12. Nosso objetivo é descobrir qual é a razão entre as deformações cisalhantes nas paredes externa e interna do tubo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a teoria da torção em eixos tubulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, quando um eixo tubular é submetido à torção, ocorre uma tensão de cisalhamento (τ) que varia de acordo com a posição radial. A tensão de cisalhamento máxima geralmente ocorre na superfície externa do tubo. A relação entre a tensão de cisalhamento e a deformação cisalhante (γ) é dada pela fórmula:
tau = G cdot gamma
onde $ G $ é o módulo de rigidez do material.

Passo 3

Para encontrar a razão entre as deformações cisalhantes nas paredes externa e interna, precisamos considerar como a tensão de cisalhamento varia dentro do tubo. Sabemos que a tensão de cisalhamento em qualquer ponto do tubo depende da distância desse ponto ao centro do tubo.
A fórmula para a tensão de cisalhamento em um eixo circular submetido à torção é:
tau(r) = T cdot rJ
onde:
  • $ \tau® $ é a tensão de cisalhamento a uma distância $ r $ do centro,
  • $ T $ é o torque aplicado,
  • $ J $ é o momento polar de inércia da seção transversal.

Passo 4

Como queremos a razão entre as deformações nas superfícies externa e interna, vamos considerar as distâncias correspondentes. Vamos chamar:
  • $ r_{ext} $ de raio externo,
  • $ r_{int} $ de raio interno.
Sabemos que a espessura do tubo $ t $ está na razão de 1 para 12 em relação ao diâmetro externo $ D $, ou seja:
rext
Como o diâmetro externo $ D = 2 \cdot r_{ext} $, temos:
rint
O raio interno $ r_{int} $ é o raio externo menos a espessura:
t

Passo 5

Agora, vamos relacionar as tensões de cisalhamento nas superfícies externa e interna usando a primeira fórmula que mencionamos:
tauexttauint = rextrint = rext5 cdot rext6 = 65
Então, a tensão de cisalhamento na superfície externa é $ \frac{6}{5} $ vezes a tensão na superfície interna.

Passo 6

Como a deformação cisalhante $ \gamma $ é relacionada à tensão de cisalhamento $ \tau $ pela fórmula $ \gamma = \frac{\tau}{G} $, a razão entre as deformações será a mesma que a razão entre as tensões:
gamma

Resposta

A razão entre as deformações cisalhantes nas paredes externa e interna do tubo é $ \frac{6}{5} $.

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