Por um duto de seção circular escoa água (γ = 10.000 N/m3). Em um ponto localizado a 10 m acima do nível do solo, a pressão dentro do duto é 250 kPa e a velocidade é 5 m/s. Num ponto a jusante, no nível do solo, a velocidade é 20 m/s. Determine a pressão na seção a jusante desprezando os efeitos de atrito. Para os cálculos utilize g = 10 m/s2.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos um problema envolvendo o escoamento de água em um duto com seção circular. A água está fluindo de um ponto que está 10 metros acima do solo até o nível do solo. No ponto mais alto, a pressão é de 250 kPa e a velocidade da água é de 5 m/s. No ponto a nível do solo, a velocidade aumenta para 20 m/s. Nosso objetivo é descobrir qual é a pressão no ponto a nível do solo, ignorando os efeitos de atrito. Para resolver isso, vamos usar a Equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em escoamentos de fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação de Bernoulli, que é uma expressão da conservação de energia para fluidos em escoamento. A equação é dada por:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • $ P $ é a pressão
  • $ \rho $ é a densidade do fluido
  • $ v $ é a velocidade do fluido
  • $ g $ é a aceleração da gravidade
  • $ h $ é a altura em relação a um ponto de referência
Como a densidade $ \rho $ não foi dada, mas temos o peso específico $ \gamma = \rho g $, podemos reescrever a equação em termos de $ \gamma $:
P

Passo 3

Agora, vamos identificar os dados que temos e substituir na equação:
  • Ponto 1 (mais alto):
    • $ P_1 = 250 $ kPa
    • $ v_1 = 5 $ m/s
    • $ h_1 = 10 $ m
  • Ponto 2 (a nível do solo):
    • $ v_2 = 20 $ m/s
    • $ h_2 = 0 $ m (nível do solo)
    • $ P_2 $ é o que queremos encontrar
Sabemos que $ \gamma = 10.000 $ N/m³ e $ g = 10 $ m/s².
Substituindo os valores na equação de Bernoulli:
P1 = 250

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  • $ \frac{1}{2} \times 10.000 \times 5^2 = \frac{1}{2} \times 10.000 \times 25 = 125.000 $ N/m²
  • $ 10.000 \times 10 = 100.000 $ N/m²
  • $ \frac{1}{2} \times 10.000 \times 20^2 = \frac{1}{2} \times 10.000 \times 400 = 2.000.000 $ N/m²
Substituindo de volta:
12 times 10.000 times 5^2 = 12 times 10.000 times 25 = 125.000

Passo 5

Somando os termos do lado esquerdo:
475.000 = P2 + 2.000.000
Agora, isolamos $ P_2 $:
P2
P2 = 475.000 - 2.000.000 ²
No entanto, pressão não pode ser negativa nesse contexto físico, o que indica que há um erro nos cálculos ou nas suposições. Vamos revisar os passos anteriores.

Passo 6

Revisando os cálculos:
P1 + 12 gamma v1^2 + gamma h1 = P2 + 12 gamma v2^2
Substituindo os valores corretamente:
250.000 + 125.000 + 100.000 = P2 + 2.000.000
475.000 = P2 + 2.000.000
P2 = 475.000 - 2.000.000 = -1.525.000 N/m² ²
Isso sugere que a pressão no ponto a jusante seria negativa, o que fisicamente significa que o fluxo não é possível com os dados fornecidos, ou que efeitos como atrito não podem realmente ser desprezados nesse caso.

Resposta

Com os dados fornecidos e desconsiderando atrito, a pressão no ponto a nível do solo seria de -1.525.000 N/m². No entanto, como pressão negativa não é fisicamente viável nesse contexto, isso indica que, na prática, os efeitos de atrito não podem ser ignorados para este escoamento específico.

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