[E,19] Prove que
1-x^n+11-x=1+x+x^2+cdots+x^n
para todo x neq 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que:
1 - x^n+11 - x = 1 + x + x^2 + cdots + x^n
Isso faz parte da matéria de Álgebra, especificamente sobre Séries Geométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar os termos de uma progressão geométrica finita.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma progressão geométrica. É uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante, que neste caso é S = 1 - x^n+11 - x .
A soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica é dada pela fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular essa soma passo a passo. Suponha que queremos somar os termos:
1 + x + x^2 + cdots + x^n
Vamos chamar essa soma de S = 1 + x + x^2 + cdots + x^n :

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por (1 - x)S = (1 - x)(1 + x + x^2 + cdots + x^n) :

Passo 5

Agora, distribuímos (1 - x)S = 1 cdot (1 + x + x^2 + cdots + x^n) - x cdot (1 + x + x^2 + cdots + x^n) dentro dos parênteses:
(1 - x)S = (1 + x + x^2 + cdots + x^n) - (x + x^2 + x^3 + cdots + x^n+1)
Isso resulta em:

Passo 6

Observamos que muitos termos se cancelam:
  • (1 - x)S = 1 - x^n+1 cancela com
  • cancela com
  • E assim por diante, até cancelar com
Ficando apenas:

Passo 7

Agora, para encontrar S = 1 - x^n+11 - x , dividimos ambos os lados por :

Resposta

Portanto, provamos que:
1 - x^n+11 - x = 1 + x + x^2 + cdots + x^n
para todo .

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