[E,19] Prove que para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que: Isso faz parte da matéria de **Álgebra**, especificamente sobre **Séries Geométricas**. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar os termos de uma progressão geométrica finita.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma **progressão geométrica**. É uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma **razão** constante, que neste caso é . A soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica é dada pela fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular essa soma passo a passo. Suponha que queremos somar os termos: Vamos chamar essa soma de :

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por :

Passo 5

Agora, distribuímos dentro dos parênteses: Isso resulta em:

Passo 6

Observamos que muitos termos se cancelam: - cancela com - cancela com - E assim por diante, até cancelar com Ficando apenas:

Passo 7

Agora, para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

Portanto, provamos que: para todo .

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[C,24] Mostre que no corpo dos números reais valem: (c) .
Para cada um dos sistemas lineares abaixo escreva a matriz dos coeficientes, a matriz das variáveis, a matriz dos termos independentes e a representação matricial. (a)
Sendo e , calcule e .