[E,19] Prove que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que:
Isso faz parte da matéria de Álgebra, especificamente sobre Séries Geométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar os termos de uma progressão geométrica finita.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma progressão geométrica. É uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante, que neste caso é
.
A soma dos primeiros
termos de uma progressão geométrica é dada pela fórmula:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa soma passo a passo. Suponha que queremos somar os termos:
Vamos chamar essa soma de
:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Passo 5
Agora, distribuímos
dentro dos parênteses:
Isso resulta em:
Passo 6
Observamos que muitos termos se cancelam:
-
cancela com -
cancela com - E assim por diante, até
cancelar com
Ficando apenas:
Passo 7
Agora, para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, provamos que:
para todo
.