Sendo u=2 i+3 j-k e v=i-j+2 k, calcule u times v e v times u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores: u = 2,i + 3,j - k e v = i - j + 2,k. A missão é calcular o produto vetorial desses vetores, ou seja, u times v e v times u. Para isso, vamos precisar saber como fazer o produto vetorial usando as componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial. A fórmula envolve um determinante com as componentes dos vetores e os vetores unitários i, j e k. A fórmula é a seguinte:
u times v = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3
Onde:
  • u = u1,i + u2,j + u3,k
  • v = v1,i + v2,j + v3,k

Passo 3

Vamos substituir as componentes dos vetores na fórmula. Para u temos u1 = 2, u2 = 3 e u3 = -1. Para v, v1 = 1, v2 = -1 e v3 = 2. Ficando assim:
u times v = i(3 cdot 2 - (-1) cdot (-1)) - j(2 cdot 2 - (-1) cdot 1) + k(2 cdot (-1) - 3 cdot 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte:
  1. Para i:
3 cdot 2 - (-1) cdot (-1) = 6 - 1 = 5
  1. Para j:
2 cdot 2 - (-1) cdot 1 = 4 + 1 = 5
  1. Para k:
2 cdot (-1) - 3 cdot 1 = -2 - 3 = -5
Substituindo de volta:
u times v = 5,i - 5,j - 5,k

Passo 5

Pronto, agora temos o produto vetorial u times v = 5,i - 5,j - 5,k. Para calcular v times u, lembramos que o produto vetorial é anticomutativo, ou seja, v times u = -(u times v). Então:
v times u = -5,i + 5,j + 5,k

Resposta

u times v = 5,i - 5,j - 5,k e v times u = -5,i + 5,j + 5,k.

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