In each of Problems 25 through 28, use the result of Problem 24 find the Laplace transform of the given function: f(t) = { 1, 0 <= t < 1, 0, 1 <= t < 2 ; f(t + 2) = f(t) }.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a transformada de Laplace de uma função que é periódica com período 2. Essa função vale 1 de até e vale 0 de até , e isso se repete toda vez que adicionamos 2 unidades de tempo. Pra resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas. Se é uma função periódica com período , a transformada de Laplace dela é dada por:
Essa fórmula é super útil porque ela nos permite calcular a transformada de funções que se repetem no tempo.

Passo 3

Agora, vamos identificar o período da nossa função. Pelo enunciado, tem período 2, então . Em seguida, precisamos calcular a integral no numerador:
Sabemos que de até e de até . Então, podemos dividir a integral em duas partes:
Essa última integral é fácil de resolver:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que encontramos na fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas:
Podemos simplificar um pouco essa expressão dividindo o numerador e o denominador por :

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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