In each of Problems 25 through 28, use the result of Problem 24 find the Laplace transform of the given function:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a transformada de Laplace de uma função
que é periódica com período 2. Essa função vale 1 de
até
e vale 0 de
até
, e isso se repete toda vez que adicionamos 2 unidades de tempo. Pra resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas. Se
é uma função periódica com período
, a transformada de Laplace dela é dada por:
Essa fórmula é super útil porque ela nos permite calcular a transformada de funções que se repetem no tempo.
Passo 3
Agora, vamos identificar o período
da nossa função. Pelo enunciado,
tem período 2, então
. Em seguida, precisamos calcular a integral no numerador:
Sabemos que
de
até
e
de
até
. Então, podemos dividir a integral em duas partes:
Essa última integral é fácil de resolver:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que encontramos na fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas:
Podemos simplificar um pouco essa expressão dividindo o numerador e o denominador por
:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: