In each of Problems 21 through 23, find the Laplace transform of given function: f(t) = {1, 0 <= t < 1; 0, t >= 1}

Passo 1

Então, a gente tem uma função que vale 1 de até e depois vira 0 pra . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a Transformada de Laplace dessa função. Pra isso, vamos precisar lembrar como calcular a Transformada de Laplace e aplicar isso direitinho nessa função que a gente tem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo em uma função de uma variável complexa . A fórmula da Transformada de Laplace é:
Isso significa que a gente integra a função multiplicada por de 0 até o infinito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula na nossa função específica. Como para e para , a gente pode simplificar o limite de integração. Em vez de ir de 0 até infinito, a gente só precisa integrar de 0 até 1, porque depois de 1 a função é zero e não contribui para a integral.
Então, a Transformada de Laplace fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. A gente tem:
Integrar em relação a é direto. A antiderivada de é .

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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