In each of Problems 21 through 23, find the Laplace transform of given function:
Passo 1
Então, a gente tem uma função que vale 1 de até e depois vira 0 pra . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a Transformada de Laplace dessa função. Pra isso, vamos precisar lembrar como calcular a Transformada de Laplace e aplicar isso direitinho nessa função que a gente tem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo em uma função de uma variável complexa . A fórmula da Transformada de Laplace é:
Isso significa que a gente integra a função multiplicada por de 0 até o infinito.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula na nossa função específica. Como para e para , a gente pode simplificar o limite de integração. Em vez de ir de 0 até infinito, a gente só precisa integrar de 0 até 1, porque depois de 1 a função é zero e não contribui para a integral.
Então, a Transformada de Laplace fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa integral. A gente tem:
Integrar em relação a é direto. A antiderivada de é .