Express f(t) in terms of the unit step function uc(t): f(t) = { t, 0 <= t < 2; 2, 2 <= t < 5; 7 - t, 5 <= t < 7; 0, t >= 7 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma função por partes, onde o valor de muda dependendo do intervalo de . Nosso objetivo é reescrever essa função usando a função degrau unitário . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções por partes e como representar essas mudanças com os degraus.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função muda de expressão. Olhando para o enunciado, vemos que as mudanças acontecem em , e . Estes serão os valores de nas funções degrau .

Passo 3

A função degrau unitário é definida como:
Ela nos ajuda a “ligar” ou “desligar” partes da função em pontos específicos de .

Passo 4

Vamos construir começando da primeira parte: para , . Como não há degrau antes de , essa parte fica apenas como . Mas geralmente é simplesmente , então podemos escrever .

Passo 5

Para o intervalo , . Precisamos subtrair a parte anterior e adicionar essa nova parte a partir de . Isso fica assim:
Aqui, liga a parte constante em 2 a partir de e desliga essa parte a partir de .

Passo 6

No intervalo , . Novamente, adicionamos essa parte a partir de e subtraímos a partir de :
Assim, a parte linear é ativada em e desativada em .

Passo 7

Para , a função , então não precisamos adicionar nada além do que já foi construído.

Resposta

Juntando todas as partes, a expressão de em termos da função degrau unitário fica:

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