In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
y'' + y = 0, y'(0) = 1, y(L) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! A gente tem a equação com duas condições: a derivada de em 0 é 1 ( ) e o valor de em é 0 ( ). Vamos usar técnicas de equações diferenciais para achar a função que satisfaz tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . A solução geral dessa equação é uma combinação linear de funções trigonométricas seno e cosseno. Então, escrevemos:
Aqui, e são constantes que precisamos determinar usando as condições dadas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a primeira condição: . Para isso, primeiro encontramos a derivada de :
Aplicando :
Então, já sabemos que .

Passo 4

Com , nossa solução fica:
Agora, vamos usar a segunda condição: . Substituindo:
Resolvendo para :
Então, .

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições dadas é:

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