In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! A gente tem a equação
com duas condições: a derivada de
em 0 é 1 (
) e o valor de
em
é 0 (
). Vamos usar técnicas de equações diferenciais para achar a função
que satisfaz tudo isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. A solução geral dessa equação é uma combinação linear de funções trigonométricas seno e cosseno. Então, escrevemos:
Aqui,
e
são constantes que precisamos determinar usando as condições dadas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a primeira condição:
. Para isso, primeiro encontramos a derivada de
:
Aplicando
:
Então, já sabemos que
.
Passo 4
Com
, nossa solução fica:
Agora, vamos usar a segunda condição:
. Substituindo:
Resolvendo para
:
Então,
.
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições dadas é:
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Dê um exemplo de um conjunto fechado não-enumerável, formado apenas por números irracionais.
Seja a um ponto de acumulação do conjunto
. Prove que existe uma sequência crescente ou uma sequência decrescente de pontos
.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Teste a série quanto a convergência ou divergência.