Seja a um ponto de acumulação do conjunto . Prove que existe uma sequência crescente ou uma sequência decrescente de pontos .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que foi pedido. A questão fala sobre um ponto de acumulação de um conjunto . Nosso objetivo é mostrar que existe uma sequência crescente ou uma sequência decrescente de elementos em que se aproxima de , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • O que é um ponto de acumulação.
  • Como construir sequências crescentes ou decrescentes que convergem para esse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre ponto de acumulação. Um ponto é um ponto de acumulação de se, em toda vizinhança de , existem infinitos pontos de . Em outras palavras, não importa quão perto você chegue de , sempre tem pontos de por lá.

Passo 3

Agora, vamos pensar em sequências. Uma sequência crescente é aquela onde cada termo é maior ou igual ao anterior, e uma sequência decrescente é onde cada termo é menor ou igual ao anterior. Queremos construir uma dessas sequências que se aproxime de .

Passo 4

Como é um ponto de acumulação, para cada natural, podemos escolher um ponto em que está dentro da distância de . Ou seja, . Isso garante que .

Passo 5

Agora, precisamos garantir que a sequência seja crescente ou decrescente. Vamos fazer isso:
  1. Sequência Crescente: Se escolhemos cada maior que o anterior, então será crescente.
  2. Sequência Decrescente: Se escolhemos cada menor que o anterior, então será decrescente.
Como é um ponto de acumulação, podemos encontrar infinitos pontos acima e abaixo de , permitindo escolher uma das duas opções.

Passo 6

Portanto, usando a definição de ponto de acumulação e a construção cuidadosa de , conseguimos criar uma sequência que é ou crescente ou decrescente e que converge para .

Resposta

Assim, provamos que existe uma sequência crescente ou uma sequência decrescente de pontos tal que .

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Calcular nos seguintes casos:
(k)
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In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)