Seja a um ponto de acumulação do conjunto
. Prove que existe uma sequência crescente ou uma sequência decrescente de pontos
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que foi pedido. A questão fala sobre um ponto de acumulação
de um conjunto
. Nosso objetivo é mostrar que existe uma sequência crescente ou uma sequência decrescente de elementos
em
que se aproxima de
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- O que é um ponto de acumulação.
- Como construir sequências crescentes ou decrescentes que convergem para esse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre ponto de acumulação. Um ponto
é um ponto de acumulação de
se, em toda vizinhança de
, existem infinitos pontos de
. Em outras palavras, não importa quão perto você chegue de
, sempre tem pontos de
por lá.
Passo 3
Agora, vamos pensar em sequências. Uma sequência crescente é aquela onde cada termo é maior ou igual ao anterior, e uma sequência decrescente é onde cada termo é menor ou igual ao anterior. Queremos construir uma dessas sequências que se aproxime de
.
Passo 4
Como
é um ponto de acumulação, para cada
natural, podemos escolher um ponto
em
que está dentro da distância
de
. Ou seja,
. Isso garante que
.
Passo 5
Agora, precisamos garantir que a sequência
seja crescente ou decrescente. Vamos fazer isso:
- Sequência Crescente: Se escolhemos cada
maior que o anterior, então será crescente. - Sequência Decrescente: Se escolhemos cada
menor que o anterior, então será decrescente.
Como
é um ponto de acumulação, podemos encontrar infinitos pontos acima e abaixo de
, permitindo escolher uma das duas opções.
Passo 6
Portanto, usando a definição de ponto de acumulação e a construção cuidadosa de
, conseguimos criar uma sequência que é ou crescente ou decrescente e que converge para
.
Resposta
Assim, provamos que existe uma sequência crescente ou uma sequência decrescente de pontos
tal que
.