Dê um exemplo de um conjunto fechado não-enumerável, formado apenas por números irracionais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dar um exemplo de um conjunto fechado não-enumerável que contém apenas números irracionais. Isso está relacionado com os conceitos de topologia e teoria dos conjuntos na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são conjuntos fechados, o que significa ser não-enumerável (ou seja, incontável) e assegurar que todos os elementos sejam irracionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto fechado. Na matemática, especialmente na topologia, um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação. Isso significa que, se você tiver uma sequência de números dentro desse conjunto que converge para um limite, esse limite também pertence ao conjunto.
Passo 3
Agora, sobre ser não-enumerável ou incontável. Um conjunto é incontável se seus elementos não podem ser colocados em uma correspondência um a um com os números naturais. Em outras palavras, o conjunto tem “mais” elementos do que os números que contamos normalmente.
Passo 4
Queremos um conjunto que seja apenas de números irracionais. Números irracionais são aqueles que não podem ser expressos como fração de dois inteiros, como √2 ou π. Além disso, precisamos que o conjunto seja fechado e incontável.
Passo 5
Um exemplo clássico de conjunto fechado e incontável é o Conjunto de Cantor. O Conjunto de Cantor é construído removendo intervalos do meio repetidamente de um intervalo inicial, geralmente [0, 1]. Ele é fechado porque contém todos os seus pontos de acumulação e é incontável.
Passo 6
No entanto, o Conjunto de Cantor padrão inclui alguns números racionais, especialmente nos pontos finais dos intervalos removidos. Para garantir que nosso exemplo contenha apenas números irracionais, podemos considerar o Conjunto de Cantor sem esses pontos finais racionais.
Passo 7
Assim, ao remover os pontos racionais do Conjunto de Cantor, obtemos um conjunto que ainda é fechado e incontável, mas agora contém apenas números irracionais.
Resposta
Um exemplo é o Conjunto de Cantor, excluindo seus pontos racionais, ou seja, o Conjunto de Cantor composto apenas por números irracionais. Este conjunto é fechado e não-enumerável.
Exercícios relacionados
Seja a um ponto de acumulação do conjunto
. Prove que existe uma sequência crescente ou uma sequência decrescente de pontos
.
Calcular
nos seguintes casos:
(k)
(k)
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)