In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial e algumas condições que o y deve satisfazer. Especificamente, estamos trabalhando com a equação
, que aparece no estudo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver isso, vamos precisar achar uma função
que satisfaça tanto a equação quanto as condições dadas:
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação linear das funções cosseno e seno. Então, podemos escrever:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 3
Agora, aplicamos a primeira condição de contorno:
. Substituindo
na solução geral:
Então, temos que
. Isso simplifica nossa solução para:
Passo 4
Em seguida, precisamos usar a segunda condição de contorno:
. Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
Agora, substituímos
:
De acordo com a condição de contorno,
. Portanto:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Dê um exemplo de um conjunto fechado não-enumerável, formado apenas por números irracionais.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)