In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial e algumas condições que o y deve satisfazer. Especificamente, estamos trabalhando com a equação , que aparece no estudo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver isso, vamos precisar achar uma função que satisfaça tanto a equação quanto as condições dadas: e .

Passo 2

Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial . Essa é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação linear das funções cosseno e seno. Então, podemos escrever:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 3

Agora, aplicamos a primeira condição de contorno: . Substituindo na solução geral:
Então, temos que . Isso simplifica nossa solução para:

Passo 4

Em seguida, precisamos usar a segunda condição de contorno: . Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Agora, substituímos :
De acordo com a condição de contorno, . Portanto:

Resposta

A solução do problema é:

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In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Dê um exemplo de um conjunto fechado não-enumerável, formado apenas por números irracionais.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)