In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições de contorno. Basicamente, queremos achar uma função que, quando derivada duas vezes e somada com 4 vezes ela mesma, resulta em . Além disso, essa função deve satisfazer as condições e . Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares, como a solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . A solução geral dessa equação é uma combinação de funções trigonométricas:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos tentar uma solução do tipo:
Onde e são constantes que vamos determinar substituindo na equação original.

Passo 4

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 5

Igualando os coeficientes das funções trigonométricas:
Então, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar e .
Primeira condição:
Então, .

Passo 8

Segunda condição:
Isso não nos dá informação adicional sobre . Portanto, a solução particular é a solução final que satisfaz as condições de contorno.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Se é compacto e é fechado, então é compacto.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
In each of Problems 14 through 20, find the eigenvalues and eigenfunctions of the given boundary value problem. Assume that all eigenvalues are real.