In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições de contorno. Basicamente, queremos achar uma função
que, quando derivada duas vezes e somada com 4 vezes ela mesma, resulta em
. Além disso, essa função deve satisfazer as condições
e
. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares, como a solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. A solução geral dessa equação é uma combinação de funções trigonométricas:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos tentar uma solução do tipo:
Onde
e
são constantes que vamos determinar substituindo na equação original.
Passo 4
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 5
Igualando os coeficientes das funções trigonométricas:
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar
e
.
Primeira condição:
Então,
.
Passo 8
Segunda condição:
Isso não nos dá informação adicional sobre
. Portanto, a solução particular é a solução final que satisfaz as condições de contorno.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Se
é compacto e
é fechado, então
é compacto.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
In each of Problems 14 through 20, find the eigenvalues and eigenfunctions of the given boundary value problem. Assume that all eigenvalues are real.