Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=1^infty 2^3 n-1n^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para testar se a série sumn=1^infty 2^3 n-1n^2+1 converge ou diverge. A gente vai usar conceitos de séries infinitas, especificamente o Teste da Razão, que ajuda a determinar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos da série. Temos 2^3n-1n^2 + 1. Vamos simplificar isso um pouco. Sabemos que 2^3n-1 = 2^3n2 = 8^n2. Então, a série fica:
sumn=1^infty 8^n2(n^2 + 1)

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se o limite L = limn to infty | an+1an | for maior que 1, a série diverge. Se for menor que 1, converge. E se for igual a 1, não dá para concluir com esse teste.
Vamos calcular L:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty 8^n+12((n+1)^2 + 1)8^n2(n^2 + 1)

Passo 4

Simplificando a fração:
L = limn to infty 8^n+18^n cdot n^2 + 1(n+1)^2 + 1 = limn to infty 8 cdot n^2 + 1n^2 + 2n + 2

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite. Para grandes valores de n, os termos de menor grau se tornam insignificantes, então podemos simplificar:
L = 8 cdot limn to infty n^2n^2 + 2n + 2 = 8 cdot 11 = 8

Passo 6

Como L = 8, que é maior que 1, segundo o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 2^3 n-1n^2+1 diverge.

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