Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para testar se a série converge ou diverge. A gente vai usar conceitos de séries infinitas, especificamente o Teste da Razão, que ajuda a determinar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos da série. Temos . Vamos simplificar isso um pouco. Sabemos que . Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se o limite for maior que 1, a série diverge. Se for menor que 1, converge. E se for igual a 1, não dá para concluir com esse teste.
Vamos calcular :

Passo 4

Simplificando a fração:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite. Para grandes valores de , os termos de menor grau se tornam insignificantes, então podemos simplificar:

Passo 6

Como , que é maior que 1, segundo o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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Se é compacto e é fechado, então é compacto.
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