In each of Problems 14 through 20, find the eigenvalues and eigenfunctions of the given boundary value problem. Assume that all eigenvalues are real.
x^2 y'' - x y' + lambda y = 0, y(1) = 0, y(L) = 0, L > 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os auto-valores ( ) e as auto-funções ( ) da seguinte equação diferencial de valor de contorno:
Esse problema está relacionado a equações diferenciais ordinárias e valores próprios, que são importantes em diversas áreas da matemática e física. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais e entender como aplicar as condições de contorno para encontrar os valores próprios e as funções correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial de ordem 2 com coeficientes variáveis. Observando a forma, podemos notar que é uma equação de Euler-Cauchy, que pode ser resolvida assumindo uma solução do tipo , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Vamos assumir uma solução da forma . Agora, vamos encontrar as derivadas de :
Substituindo , e na equação diferencial original:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora, fatoramos da equação:
Para que essa igualdade seja válida para , o termo dentro dos parênteses deve ser zero:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos uma equação característica de segundo grau:
Vamos resolver para usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 6

As soluções para dependem das raízes :
  • Se , ou seja, , teremos raízes reais e distintas.
  • Se , ou seja, , teremos raízes reais e iguais.
  • Se , ou seja, , teremos raízes complexas conjugadas.
Como buscamos auto-valores reais, vamos considerar os casos onde é real.

Passo 7

Vamos considerar :
As soluções gerais são:
Aplicando as condições de contorno e :
Para :
Então, a solução fica:
Para :
Para que exista uma solução não trivial ( ), deve-se ter:
Isso implica que , ou seja, .

Passo 8

Portanto, o único auto-valor possível é .
Substituindo na equação característica, temos:
A solução geral para este caso é:
Aplicando :
Então, a solução fica:
Aplicando :
Isso leva a uma solução trivial , o que não é interessante. Então, não existem auto-funções não triviais para .

Passo 9

Considerando , as raízes da equação característica serão complexas:
A solução geral é:
Aplicando as condições de contorno:
Para :
Então, a solução fica:
Para :
Para , deve-se ter:
Então,
Elevando ao quadrado:

Resposta

Os auto-valores são:
E as correspondentes auto-funções são:
Onde são constantes de normalização.

Exercícios relacionados

Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=1^infty 2^3 n-1n^2+1
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
y'' + 4y = sen(x), y(0) = 0, y(pi) = 0
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
y'' + 2y = x, y(0) = 0, y(pi) = 0
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = 0, y(1) = -1, y(2) = 1