In each of Problems 14 through 20, find the eigenvalues and eigenfunctions of the given boundary value problem. Assume that all eigenvalues are real.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os auto-valores (
) e as auto-funções (
) da seguinte equação diferencial de valor de contorno:
Esse problema está relacionado a equações diferenciais ordinárias e valores próprios, que são importantes em diversas áreas da matemática e física. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais e entender como aplicar as condições de contorno para encontrar os valores próprios e as funções correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial de ordem 2 com coeficientes variáveis. Observando a forma, podemos notar que é uma equação de Euler-Cauchy, que pode ser resolvida assumindo uma solução do tipo
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Vamos assumir uma solução da forma
. Agora, vamos encontrar as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, fatoramos
da equação:
Para que essa igualdade seja válida para
, o termo dentro dos parênteses deve ser zero:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma equação característica de segundo grau:
Vamos resolver para
usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 6
As soluções para
dependem das raízes
:
- Se
, ou seja, , teremos raízes reais e distintas. - Se
, ou seja, , teremos raízes reais e iguais. - Se
, ou seja, , teremos raízes complexas conjugadas.
Como buscamos auto-valores reais, vamos considerar os casos onde
é real.
Passo 7
Vamos considerar
:
As soluções gerais são:
Aplicando as condições de contorno
e
:
Para
:
Então, a solução fica:
Para
:
Para que exista uma solução não trivial (
), deve-se ter:
Isso implica que
, ou seja,
.
Passo 8
Portanto, o único auto-valor possível é
.
Substituindo
na equação característica, temos:
A solução geral para este caso é:
Aplicando
:
Então, a solução fica:
Aplicando
:
Isso leva a uma solução trivial
, o que não é interessante. Então, não existem auto-funções não triviais para
.
Passo 9
Considerando
, as raízes da equação característica serão complexas:
A solução geral é:
Aplicando as condições de contorno:
Para
:
Então, a solução fica:
Para
:
Para
, deve-se ter:
Então,
Elevando ao quadrado:
Resposta
Os auto-valores são:
E as correspondentes auto-funções são:
Onde
são constantes de normalização.
Exercícios relacionados
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
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