In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Passo 1
Então, a gente tem um problema envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem:
. Além disso, temos condições de contorno que dizem que
e
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais para resolver esse problema. Precisaremos encontrar a solução geral da equação e depois ajustar essa solução para que ela satisfaça as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea associada, que é
. Para resolver isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Resolvendo para
:
Isso nos dá raízes complexas conjugadas.
Passo 4
Com raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é uma função polinomial, tentamos uma solução particular da forma
, onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Isso nos dá um sistema de equações:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar
e
.
Primeira condição:
Passo 9
Segunda condição:
Resolvendo para
:
Passo 10
Portanto, a solução final que satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno é:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
In each of Problems 14 through 20, find the eigenvalues and eigenfunctions of the given boundary value problem. Assume that all eigenvalues are real.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Teste a série quanto a convergência ou divergência.