In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)

Passo 1

Então, a gente tem um problema envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem: . Além disso, temos condições de contorno que dizem que e . Vamos usar conceitos de equações diferenciais para resolver esse problema. Precisaremos encontrar a solução geral da equação e depois ajustar essa solução para que ela satisfaça as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea associada, que é . Para resolver isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Resolvendo para :
Isso nos dá raízes complexas conjugadas.

Passo 4

Com raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é uma função polinomial, tentamos uma solução particular da forma , onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 6

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Isso nos dá um sistema de equações:
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar e .
Primeira condição:

Passo 9

Segunda condição:
Resolvendo para :

Passo 10

Portanto, a solução final que satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno é:

Resposta

A solução do problema é:

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