In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições de contorno e . O objetivo é resolver essa equação para encontrar a função que satisfaz ambas as condições.
Para resolver essa equação, vamos usar o método das equações de Euler (ou equações de Cauchy-Euler). Esse método é útil para resolver equações diferenciais lineares em que os coeficientes são funções polinomiais de .

Passo 2

Primeiro, identificamos que estamos lidando com uma equação de Euler da forma geral:
No nosso caso, , e .
O método de resolução envolve tentar uma solução do tipo , onde é um número que vamos determinar.

Passo 3

Substituímos na equação diferencial. Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos , e na equação original:

Passo 4

Simplificamos a equação:
Fatoramos :
Como não é zero, temos:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções para são:

Passo 6

Com os valores de , escrevemos a solução geral da equação diferencial:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 7

Aplicamos as condições de contorno para encontrar e :
Primeira condição:
\quad (1)
Segunda condição:
\quad (2)

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações para e :
Equação (1):
Equação (2):
Podemos multiplicar a equação (1) por 2:
\quad (1a)
Subtraímos a equação (1a) da equação (2):
Substituímos na equação (1):

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz as condições de contorno dadas é:

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In each of Problems 14 through 20, find the eigenvalues and eigenfunctions of the given boundary value problem. Assume that all eigenvalues are real.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
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