In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições de contorno
e
. O objetivo é resolver essa equação para encontrar a função
que satisfaz ambas as condições.
Para resolver essa equação, vamos usar o método das equações de Euler (ou equações de Cauchy-Euler). Esse método é útil para resolver equações diferenciais lineares em que os coeficientes são funções polinomiais de
.
Passo 2
Primeiro, identificamos que estamos lidando com uma equação de Euler da forma geral:
No nosso caso,
,
e
.
O método de resolução envolve tentar uma solução do tipo
, onde
é um número que vamos determinar.
Passo 3
Substituímos
na equação diferencial. Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Passo 4
Simplificamos a equação:
Fatoramos
:
Como
não é zero, temos:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções para
são:
Passo 6
Com os valores de
, escrevemos a solução geral da equação diferencial:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 7
Aplicamos as condições de contorno para encontrar
e
:
Primeira condição:
Segunda condição:
Passo 8
Resolvemos o sistema de equações para
e
:
Equação (1):
Equação (2):
Podemos multiplicar a equação (1) por 2:
Subtraímos a equação (1a) da equação (2):
Substituímos
na equação (1):
Resposta
A solução da equação diferencial que satisfaz as condições de contorno dadas é:
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