Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, principalmente testes de convergência como o Teste da Comparação. Vamos precisar comparar essa série com outra que a gente conheça bem para ver o comportamento dela.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Note que para grandes valores de
, o termo
é aproximadamente igual a
. Então, podemos aproximar
por
.
Passo 3
Simplificando
, temos:
Então, nossa série se aproxima de
.
Passo 4
Sabemos que a série
converge se
. No caso,
, que é maior que 1. Portanto, a série
converge.
Passo 5
Agora, aplicando o Teste da Comparação: se os termos da nossa série original
são menores ou iguais aos termos de uma série convergente
para
suficientemente grande, então a nossa série original também converge.
Passo 6
Como vimos que
para grandes
, e a série comparativa converge, podemos concluir que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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In each of Problems 14 through 20, find the eigenvalues and eigenfunctions of the given boundary value problem. Assume that all eigenvalues are real.
Sejam
fechado e
. Mostre que
é um ponto isolado de
se, e somente se,
é ainda fechado.