Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, principalmente testes de convergência como o Teste da Comparação. Vamos precisar comparar essa série com outra que a gente conheça bem para ver o comportamento dela.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Note que para grandes valores de , o termo é aproximadamente igual a . Então, podemos aproximar por .

Passo 3

Simplificando , temos:
Então, nossa série se aproxima de .

Passo 4

Sabemos que a série converge se . No caso, , que é maior que 1. Portanto, a série converge.

Passo 5

Agora, aplicando o Teste da Comparação: se os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos de uma série convergente para suficientemente grande, então a nossa série original também converge.

Passo 6

Como vimos que para grandes , e a série comparativa converge, podemos concluir que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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