In each of Problems 14 through 20, find the eigenvalues and eigenfunctions of the given boundary value problem. Assume that all eigenvalues are real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor de contorno, focado em encontrar os autovalores (λ) e autofunções (y) para a equação diferencial dada:
com as condições de contorno:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias e entender como as condições de contorno influenciam na escolha dos autovalores e autofunções.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial geral:
A solução dessa equação depende do sinal de λ. Então, vamos dividir em três casos:
- λ = 0
- λ > 0
- λ < 0
Vamos analisar cada um separadamente.
Passo 3
Caso 1: λ = 0
A equação fica:
Integrando uma vez, temos:
Integrando de novo:
Agora, aplicamos as condições de contorno:
- y’(0) = 0
Então, a solução fica:
- y(L) = 0
Isso nos leva à única solução trivial y(x) = 0, que não é interessante para autovalores. Então, λ = 0 não é um autovalor.
Passo 4
Caso 2: λ > 0
Vamos chamar λ de μ², onde μ > 0:
A solução geral dessa equação é:
Agora, aplicamos as condições de contorno.
- y’(0) = 0
Primeiro, encontramos y’(x):
Aplicando x = 0:
Então, a solução fica:
- y(L) = 0
Aplicando x = L:
Para que isso seja verdade com C_1 ≠ 0 (não trivial), precisamos que:
Ou seja:
Isso nos dá os valores permitidos de μ:
Logo, os autovalores λ são:
As autofunções correspondentes são:
Passo 5
Caso 3: λ < 0
Vamos chamar λ de -μ², onde μ > 0:
A solução geral dessa equa��ão é:
Agora, aplicamos as condições de contorno.
- y’(0) = 0
Primeiro, encontramos y’(x):
Aplicando x = 0:
Então, a solução fica:
- y(L) = 0
Aplicando x = L:
Como
para todo μ > 0, a única solução é C_1 = 0, levando novamente à solução trivial y(x) = 0. Portanto, λ < 0 não é um autovalor.
Resposta
Os autovalores são dados por:
As autofunções correspondentes são:
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Teste a série quanto a convergência ou divergência.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Sejam
fechado e
. Mostre que
é um ponto isolado de
se, e somente se,
é ainda fechado.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)