In each of Problems 14 through 20, find the eigenvalues and eigenfunctions of the given boundary value problem. Assume that all eigenvalues are real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor de contorno, focado em encontrar os autovalores (λ) e autofunções (y) para a equação diferencial dada:
com as condições de contorno:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias e entender como as condições de contorno influenciam na escolha dos autovalores e autofunções.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial geral:
A solução dessa equação depende do sinal de λ. Então, vamos dividir em três casos:
  1. λ = 0
  2. λ > 0
  3. λ < 0
Vamos analisar cada um separadamente.

Passo 3

Caso 1: λ = 0
A equação fica:
Integrando uma vez, temos:
Integrando de novo:
Agora, aplicamos as condições de contorno:
  1. y’(0) = 0
Então, a solução fica:
  1. y(L) = 0
Isso nos leva à única solução trivial y(x) = 0, que não é interessante para autovalores. Então, λ = 0 não é um autovalor.

Passo 4

Caso 2: λ > 0
Vamos chamar λ de μ², onde μ > 0:
A solução geral dessa equação é:
Agora, aplicamos as condições de contorno.
  1. y’(0) = 0
Primeiro, encontramos y’(x):
Aplicando x = 0:
Então, a solução fica:
  1. y(L) = 0
Aplicando x = L:
Para que isso seja verdade com C_1 ≠ 0 (não trivial), precisamos que:
Ou seja:
Isso nos dá os valores permitidos de μ:
Logo, os autovalores λ são:
As autofunções correspondentes são:

Passo 5

Caso 3: λ < 0
Vamos chamar λ de -μ², onde μ > 0:
A solução geral dessa equa��ão é:
Agora, aplicamos as condições de contorno.
  1. y’(0) = 0
Primeiro, encontramos y’(x):
Aplicando x = 0:
Então, a solução fica:
  1. y(L) = 0
Aplicando x = L:
Como para todo μ > 0, a única solução é C_1 = 0, levando novamente à solução trivial y(x) = 0. Portanto, λ < 0 não é um autovalor.

Resposta

Os autovalores são dados por:
As autofunções correspondentes são:

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