Encontrar a série de Laurent da função
:
a) em anel
;
a) em anel
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a série de Laurent da função
no anel onde
. Isso está ligado ao estudo de séries de Laurent na análise complexa. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais e expandir cada termo em séries que se encaixem na região dada.
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr a função
em frações parciais. Isso significa escrever
como a soma de duas frações mais simples. Queremos achar constantes
e
tais que:
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados por
e resolvemos:
Escolhendo valores estratégicos para
:
- Se
: então . - Se
: então .
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos expandir cada termo dessa decomposição em séries que sejam válidas no anel
. Isso significa que a expansão deve convergir para valores de
onde a magnitude de
está entre 2 e 3.
Passo 4
Vamos expandir cada fração separadamente:
- Para
:
Podemos reescrever como:
Essa expansão é válida quando
, ou seja,
, o que está dentro do nosso anel.
- Para
:
Podemos reescrever como:
Essa expansão é válida quando
, ou seja,
, que também está dentro do nosso anel.
Passo 5
Agora, juntando as duas expansões que encontramos:
Essa é a série de Laurent da função
no anel
.
Resposta
A série de Laurent de
no anel
é:
Exercícios relacionados
Econtrar o fluxo do campo vetorial
por superfície de paralelipípedo de lados
com coordenadas dos vértices
.
Resolva as integrais:
O ponto
é o zero da ordem
da função
e o zero da ordem
da função
. O zero da qual ordem é
para funções: a)
;
Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função
para: c)
;