Encontrar a série de Laurent da função f(z) = 1/((z-2)(z-3)) :
a) em anel 2 < |z| < 3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a série de Laurent da função no anel onde . Isso está ligado ao estudo de séries de Laurent na análise complexa. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais e expandir cada termo em séries que se encaixem na região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a função em frações parciais. Isso significa escrever como a soma de duas frações mais simples. Queremos achar constantes e tais que:
Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados por e resolvemos:
Escolhendo valores estratégicos para :
  • Se : então .
  • Se : então .
    Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos expandir cada termo dessa decomposição em séries que sejam válidas no anel . Isso significa que a expansão deve convergir para valores de onde a magnitude de está entre 2 e 3.

Passo 4

Vamos expandir cada fração separadamente:
  1. Para :
    Podemos reescrever como:
Essa expansão é válida quando , ou seja, , o que está dentro do nosso anel.
  1. Para :
    Podemos reescrever como:
Essa expansão é válida quando , ou seja, , que também está dentro do nosso anel.

Passo 5

Agora, juntando as duas expansões que encontramos:
Essa é a série de Laurent da função no anel .

Resposta

A série de Laurent de no anel é:

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