Resolva os PVI(e) y' + y tg(x) = x cos(x) y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema onde precisamos encontrar a função que satisfaz a equação diferencial com a condição inicial . Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicar o método do fator integrante para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da nossa equação diferencial. Ela está na forma:
Aqui, e . Nosso objetivo é encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a resolver essa equação.

Passo 3

O próximo passo é calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo temos:

Passo 4

Agora que temos o fator integrante , multiplicamos toda a equação diferencial original por ele:
Simplificando, ficamos com:
Isso é porque a derivada do produto dá exatamente o lado esquerdo da equação.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para isolando-o na equação:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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