Para a EDO a seguir
, determine:
a solução geral;
a solução geral;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é
. A matéria envolvida aqui são as Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de segunda ordem e não-lineares. Para resolver, vamos precisar usar substituição e técnicas de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação usando uma substituição. Vamos chamar
. Assim, a segunda derivada
vira
. A equação original fica:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Essa equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação.
Passo 4
Vamos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
.
Passo 5
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
.
Passo 6
Igualando as integrais:
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar
integrando
:
Vamos simplificar a constante
para uma nova constante
, já que
é arbitrário.
Passo 8
Com a substituição
, a integral fica:
Sabemos que:
Passo 9
Aplicando a fórmula da integral:
Como
e
é uma constante arbitrária, podemos renomear
para outra constante
. Portanto, a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Euler descobriu a soma da série
com
. Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série
.
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