Para a EDO a seguir y'' = x (y')^2, determine:
a solução geral;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é . A matéria envolvida aqui são as Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de segunda ordem e não-lineares. Para resolver, vamos precisar usar substituição e técnicas de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação usando uma substituição. Vamos chamar . Assim, a segunda derivada vira . A equação original fica:

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Essa equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis e em lados diferentes da equação.

Passo 4

Vamos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados para encontrar .

Passo 5

Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante .

Passo 6

Igualando as integrais:
Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar integrando :
Vamos simplificar a constante para uma nova constante , já que é arbitrário.

Passo 8

Com a substituição , a integral fica:
Sabemos que:

Passo 9

Aplicando a fórmula da integral:
Como e é uma constante arbitrária, podemos renomear para outra constante . Portanto, a solução geral fica:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Resolva as EDOs abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem:
y y'' = (y')^2 + y^2 y' y(0) = -1/2, y'(0) = 1
Resolva as EDOs abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem:
1 + (y')^2 = 2 y y''
Euler descobriu a soma da série p com p=4: zeta(4)=sumn=1^infty 1n^2=pi^26. Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série sumn=1^infty(3n)^4.
Encontre as primeiras derivadas parciais de cada função.
g(x, y) = ln(x^3 - y^3)