Resolva as EDOs abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem:
y y'' = (y')^2 + y^2 y' y(0) = -1/2, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e diminuir ele a uma equação de primeira ordem. A matéria envolvida aqui é a resolução de EDOs de segunda ordem e técnicas de redução de ordem. Para resolver, vamos precisar usar substituições inteligentes e conhecimentos básicos sobre derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação que temos:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir . Assim, a equação fica:
Onde é a derivada de em relação a .

Passo 4

Agora, reescrevemos a equação para isolar :
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para .

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais usando outra substituição. Definimos , ou seja, . Então, .

Passo 6

Calculamos a derivada de :
Substituindo na equação:

Passo 7

Simplificando a equação:
Dividindo ambos os lados por :
Agora temos uma equação diferencial linear para .

Passo 8

Para resolver , precisamos de uma expressão para . Mas, como , isso implica que:
Vamos reescrever isso como:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Para avançar, precisamos relacionar e . Sabemos que , então:
Isso nos permite expressar a integral em termos de .

Passo 11

Voltando à integração, temos:
E sabendo que , podemos combinar as equações para encontrar .

Passo 12

Após encontrar , podemos integrar novamente para encontrar . Finalmente, aplicamos as condições iniciais e para determinar as constantes de integração.

Resposta

Após seguir os passos de redução e integração, a solução para a EDO dada com as condições iniciais é:

Exercícios relacionados

Resolva as EDOs abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem:
1 + (y')^2 = 2 y y''
Resolva as EDOs abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem:
y'' + (y')^2 = y, y(0) = 3/2, y'(0) = 1
Para a EDO a seguir y'' = x (y')^2, determine:
a solução geral;
Euler descobriu a soma da série p com p=4: zeta(4)=sumn=1^infty 1n^2=pi^26. Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série sumn=1^infty(3n)^4.