Resolva as EDOs abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e diminuir ele a uma equação de primeira ordem. A matéria envolvida aqui é a resolução de EDOs de segunda ordem e técnicas de redução de ordem. Para resolver, vamos precisar usar substituições inteligentes e conhecimentos básicos sobre derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação que temos:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
, e
é a primeira derivada.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir
. Assim, a equação fica:
Onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Agora, reescrevemos a equação para isolar
:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para
.
Passo 5
Vamos simplificar ainda mais usando outra substituição. Definimos
, ou seja,
. Então,
.
Passo 6
Calculamos a derivada de
:
Substituindo
na equação:
Passo 7
Simplificando a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora temos uma equação diferencial linear para
.
Passo 8
Para resolver
, precisamos de uma expressão para
. Mas, como
, isso implica que:
Vamos reescrever isso como:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Para avançar, precisamos relacionar
e
. Sabemos que
, então:
Isso nos permite expressar a integral em termos de
.
Passo 11
Voltando à integração, temos:
E sabendo que
, podemos combinar as equações para encontrar
.
Passo 12
Após encontrar
, podemos integrar novamente para encontrar
. Finalmente, aplicamos as condições iniciais
e
para determinar as constantes de integração.
Resposta
Após seguir os passos de redução e integração, a solução para a EDO dada com as condições iniciais é:
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Resolva as EDOs abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem:
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Para a EDO a seguir
, determine:
a solução geral;
a solução geral;
Euler descobriu a soma da série
com
. Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série
.