Euler descobriu a soma da série p com p=4: zeta(4)=sumn=1^infty 1n^2=pi^26. Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série sumn=1^infty(3n)^4.

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa trabalhar com séries infinitas, mais especificamente com a série que envolve potências de termos. O exercício menciona o resultado de Euler para a série , que é uma soma infinita. Para resolver, vamos usar esse resultado e manipular a série que queremos encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a série sumn=1^infty(3n)^4 = 3^4 sumn=1^infty 1n^4 representa. Podemos reescrever essa expressão como:
Aqui, separamos o de dentro da soma porque ele é uma constante multiplicativa.

Passo 3

Agora, sabemos que a série zeta(4) = sumn=1^infty 1n^4 = pi^490 é justamente . Segundo o resultado de Euler que foi dado:

Passo 4

Substituindo esse valor na nossa expressão original, temos:
sumn=1^infty(3n)^4 = 3^4 times pi^490
Vamos calcular 3^4 = 81 :

Passo 5

Agora, multiplicamos 81 por 81 times pi^490 = 8190 pi^4 :
8190 = 910
Podemos simplificar a fração :

Resposta

sumn=1^infty(3n)^4 = 910 pi^4

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