Encontre as primeiras derivadas parciais de cada função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as primeiras derivadas parciais da função
. Estamos lidando com derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis e queremos ver como a função muda em relação a uma variável enquanto mantemos a outra constante. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e as derivadas básicas de funções logarítmicas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
, então a derivada de
em relação a
será
multiplicado pela derivada de
em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é
(porque
é tratada como constante). Portanto, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, então a derivada de
em relação a
será
multiplicado pela derivada de
em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
(porque
é tratado como constante) e a derivada de
em relação a
é
. Então, temos:
Resposta
As primeiras derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
Euler descobriu a soma da série
com
. Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série
.
Para a EDO a seguir
, determine:
a solução geral;
a solução geral;
Para a EDO a seguir
, determine:
a expressão e o intervalo máximo de definição para a soluçao que satisfaz .
a expressão e o intervalo máximo de definição para a soluçao que satisfaz
O volume V de um cone reto de altura h e raio da base r é dado por
. Se a altura é aumentada de
para
, enquanto o raio da base é diminuído de
para
, encontre uma aproximação da variação
no volume.