Encontre as primeiras derivadas parciais de cada função.
g(x, y) = ln(x^3 - y^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as primeiras derivadas parciais da função . Estamos lidando com derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis e queremos ver como a função muda em relação a uma variável enquanto mantemos a outra constante. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e as derivadas básicas de funções logarítmicas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é .
Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia. Sabemos que a derivada de em relação a é , então a derivada de em relação a será multiplicado pela derivada de em relação a .
A derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é (porque é tratada como constante). Portanto, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é .
Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , então a derivada de em relação a será multiplicado pela derivada de em relação a .
A derivada de em relação a é (porque é tratado como constante) e a derivada de em relação a é . Então, temos:

Resposta

As primeiras derivadas parciais da função são:

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