Para a EDO a seguir y'' = x (y')^2, determine:
a expressão e o intervalo máximo de definição para a soluçao que satisfaz y(0)=3, y'(0)=2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar a expressão de que resolve essa EDO e determinar o intervalo máximo onde essa solução é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos reduzir a ordem da equação. Vamos chamar . Assim, . Substituindo na EDO, temos:
Essa é uma EDO de primeira ordem para .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação . Essa é uma equação separável, ou seja, podemos separar os termos de e :

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados:
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Invertemos para encontrar :

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial :
Simplificando:

Passo 7

Substituindo na expressão de :

Passo 8

Agora, vamos integrar para encontrar :
A integral de é .

Passo 9

Simplificando a expressão, temos:

Passo 10

Usamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
O intervalo máximo de definição para essa solução é , já que para o denominador se anula e a função não está definida.

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