Para a EDO a seguir , determine:
a expressão e o intervalo máximo de definição para a soluçao que satisfaz .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar a expressão de que resolve essa EDO e determinar o intervalo máximo onde essa solução é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos reduzir a ordem da equação. Vamos chamar . Assim, . Substituindo na EDO, temos:
Essa é uma EDO de primeira ordem para .
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação . Essa é uma equação separável, ou seja, podemos separar os termos de e :
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados:
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então:
Onde é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Invertemos para encontrar :
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial :
Simplificando:
Passo 7
Substituindo na expressão de :
Passo 8
Agora, vamos integrar para encontrar :
A integral de é .
Passo 9
Simplificando a expressão, temos:
Passo 10
Usamos a condição inicial para encontrar :
Resposta
A solução da equação diferencial é:
O intervalo máximo de definição para essa solução é , já que para o denominador se anula e a função não está definida.