O volume V de um cone reto de altura h e raio da base r é dado por V = (1/3) pi r^2 h. Se a altura é aumentada de 5,00 cm para 5,01 cm, enquanto o raio da base é diminuído de 4,00 cm para 3,98 cm, encontre uma aproximação da variação dV no volume.

Passo 1

Vamos resolver um problema onde precisamos encontrar a variação no volume ( ) de um cone reto quando a altura e o raio da base sofrem pequenas alterações. Usaremos conceitos de cálculo diferencial e a fórmula do volume do cone para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o volume ( ) de um cone é dado por:
onde é o raio da base e é a altura do cone.

Passo 3

Para encontrar a variação no volume ( ), vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Isso nos ajuda a entender como pequenas mudanças em e afetam .

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

A variação no volume ( ) pode ser aproximada pela soma das variações influenciadas por e :

Passo 6

Substituindo os valores dados no problema:
  • Altura inicial
  • Raio inicial
  • Variação na altura
  • Variação no raio

Passo 7

Plugando esses valores na equação de :

Passo 8

Calculando cada termo separadamente:

Passo 9

Somando os dois resultados:

Passo 10

Finalmente, calculamos o valor numérico:

Resposta

A variação aproximada no volume do cone é de .

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