O volume V de um cone reto de altura h e raio da base r é dado por
. Se a altura é aumentada de
para
, enquanto o raio da base é diminuído de
para
, encontre uma aproximação da variação
no volume.
Passo 1
Vamos resolver um problema onde precisamos encontrar a variação no volume (
) de um cone reto quando a altura e o raio da base sofrem pequenas alterações. Usaremos conceitos de cálculo diferencial e a fórmula do volume do cone para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o volume (
) de um cone é dado por:
onde
é o raio da base e
é a altura do cone.
Passo 3
Para encontrar a variação no volume (
), vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso nos ajuda a entender como pequenas mudanças em
e
afetam
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
A variação no volume (
) pode ser aproximada pela soma das variações influenciadas por
e
:
Passo 6
Substituindo os valores dados no problema:
- Altura inicial
- Raio inicial
- Variação na altura
- Variação no raio
Passo 7
Plugando esses valores na equação de
:
Passo 8
Calculando cada termo separadamente:
Passo 9
Somando os dois resultados:
Passo 10
Finalmente, calculamos o valor numérico:
Resposta
A variação aproximada no volume do cone é de
.