Encontre as primeiras derivadas parciais de cada função.
f(x, y) = x^3 + 7xy^2 - 8y^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A função dada é . O objetivo é encontrar as primeiras derivadas parciais dessa função. Isso significa que precisamos calcular como a função muda em relação a cada uma das variáveis, e , mantendo a outra variável constante. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções multivariáveis.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , que é denotada por . Ao derivar em relação a , tratamos como uma constante.
A função pode ser decomposta em três termos:
  1. : A derivada de em relação a é .
  2. : Aqui, é constante, então a derivada é .
  3. : Este termo não contém , então sua derivada em relação a é zero.
Somando esses resultados, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Ao derivar em relação a , tratamos como uma constante.
Analisando cada termo:
  1. : Este termo não contém , então sua derivada em relação a é zero.
  2. : Aqui, é constante, então a derivada é .
  3. : A derivada de em relação a é .
Somando esses resultados, temos:

Resposta

As primeiras derivadas parciais da função são:

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