Encontre as primeiras derivadas parciais de cada função.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A função dada é
. O objetivo é encontrar as primeiras derivadas parciais dessa função. Isso significa que precisamos calcular como a função muda em relação a cada uma das variáveis,
e
, mantendo a outra variável constante. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções multivariáveis.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, que é denotada por
. Ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
A função
pode ser decomposta em três termos:
-
: A derivada de em relação a é . -
: Aqui, é constante, então a derivada é . -
: Este termo não contém , então sua derivada em relação a é zero.
Somando esses resultados, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
Analisando cada termo:
-
: Este termo não contém , então sua derivada em relação a é zero. -
: Aqui, é constante, então a derivada é . -
: A derivada de em relação a é .
Somando esses resultados, temos:
Resposta
As primeiras derivadas parciais da função são:
Exercícios relacionados
O volume V de um cone reto de altura h e raio da base r é dado por
. Se a altura é aumentada de
para
, enquanto o raio da base é diminuído de
para
, encontre uma aproximação da variação
no volume.
Para a EDO a seguir
, determine:
a expressão e o intervalo máximo de definição para a soluçao que satisfaz .
a expressão e o intervalo máximo de definição para a soluçao que satisfaz
Escreva os polinômios complexos (dos itens seguintes) em notação real, ou seja, na forma
(a)
;
Encontre as primeiras derivadas parciais de cada função.