Efetuando a mudança de variável , calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de de a usando a mudança de variável . Esse problema está dentro da matéria de cálculo, mais especificamente em integrais envolvendo funções exponenciais e mudanças de variável. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e conhecer o resultado da integral da função gaussiana.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição indicada: . Isso significa que .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados da equação em relação a , temos:

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Simplificando o expoente:
Então, a integral fica:

Passo 5

Sabemos que a integral da função gaussiana de a é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 6

Substituindo de volta na nossa expressão:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Uma função é ímpar se para todo . Supondo que é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
Use a mudança de variáveis para concluir que
Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
Use o fato de que é uma função separávelpara calcular
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de no intervalo dado.