Efetuando a mudança de variável t=raiz2 x, calcule
integral-infty^infty e^-x^22 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de de a usando a mudança de variável . Esse problema está dentro da matéria de cálculo, mais especificamente em integrais envolvendo funções exponenciais e mudanças de variável. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e conhecer o resultado da integral da função gaussiana.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição indicada: . Isso significa que .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dtdx = raiz2 Rightarrow dx = dtraiz2 em termos de . Derivando ambos os lados da equação em relação a , temos:

Passo 4

Substituindo integral-infty^infty e^-x^22 dx = integral-infty^infty e^-(traiz2)^22 cdot dtraiz2 e (traiz2)^2 = t^22 Rightarrow e^-t^24 na integral original:
1raiz2 integral-infty^infty e^-t^24 dt
Simplificando o expoente:
Então, a integral fica:

Passo 5

Sabemos que a integral da função gaussiana integral-infty^infty e^-a t^2 dt = raizpia de integral-infty^infty e^-t^24 dt = raizpi14 = raiz4pi = 2raizpi a é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 6

Substituindo de volta na nossa expressão:
1raiz2 cdot 2raizpi = raiz2 cdot raizpi = raiz2pi

Resposta

A integral é igual a .

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