Efetuando a mudança de variável
, calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de
de
a
usando a mudança de variável
. Esse problema está dentro da matéria de cálculo, mais especificamente em integrais envolvendo funções exponenciais e mudanças de variável. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e conhecer o resultado da integral da função gaussiana.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição indicada:
. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados da equação
em relação a
, temos:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando o expoente:
Então, a integral fica:
Passo 5
Sabemos que a integral da função gaussiana
de
a
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 6
Substituindo de volta na nossa expressão:
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Uma função
é ímpar se
para todo
. Supondo que
é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
Use a mudança de variáveis para concluir que
Use a mudança de variáveis
Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
Use o fato de que
é uma função separávelpara calcular
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de
no intervalo dado.