Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
integral raiz[3]6-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a antiderivada da função . Isso está na área de cálculo integral, mais especificamente na integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão dentro da raiz e usar uma substituição que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a raiz cúbica de uma forma mais amigável para a integração. Sabemos que integral (6 - 2x)^1/3 , dx é o mesmo que . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos usar a substituição. Vamos definir . Isso simplifica a expressão dentro do parênteses.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar du = ddx(6 - 2x) , dx = -2 , dx , que é a derivada de dx = -12 , du em relação a :
Ou seja,

Passo 5

Agora, substituímos integral (6 - 2x)^1/3 , dx = integral u^1/3 (-12) , du = -12 integral u^1/3 , du e na integral original:

Passo 6

Vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C . A regra da potência diz que:
integral u^1/3 , du = u^4/34/3 + C = 34 u^4/3 + C
Aqui, , então:

Passo 7

Voltando à nossa integral:
-12 integral u^1/3 , du = -12 ( 34 u^4/3 + C ) = -38 u^4/3 + C

Passo 8

Agora, substituímos -38 (6 - 2x)^4/3 + C de volta na expressão:

Resposta

A antiderivada de -38 (6 - 2x)^4/3 + C é:

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