Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
integral sec ^2(5 x) d x

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular a antiderivação da função sec^2(5x). Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, é bom lembrar que a antiderivada de sec^2(u) em relação a u é tan(u) + C, onde C é a constante de integração. Ou seja:
integral sec^2(u) , du = tan(u) + C

Passo 3

No nosso caso, temos sec^2(5x). Veja que dentro da função sec^2, temos 5x, o que significa que estamos lidando com uma função composta. Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição.

Passo 4

Vamos definir uma nova variável para simplificar:
u = 5x
Agora, derivamos u em relação a x:
dudx = 5 Rightarrow dx = du5

Passo 5

Substituímos u e dx na integral original:
integral sec^2(5x) , dx = integral sec^2(u) cdot du5 = 15 integral sec^2(u) , du

Passo 6

Agora, aplicamos a antiderivada de sec^2(u) que lembramos no Passo 2:
15 integral sec^2(u) , du = 15 tan(u) + C

Passo 7

Por último, substituímos u de volta por 5x para voltar à variável original:
15 tan(u) + C = 15 tan(5x) + C

Resposta

A antiderivada de sec^2(5x) é 15 tan(5x) + C, onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados