Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular a antiderivação da função
. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição.
Passo 2
Primeiro, é bom lembrar que a antiderivada de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração. Ou seja:
Passo 3
No nosso caso, temos
. Veja que dentro da função
, temos
, o que significa que estamos lidando com uma função composta. Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição.
Passo 4
Vamos definir uma nova variável para simplificar:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Substituímos
e
na integral original:
Passo 6
Agora, aplicamos a antiderivada de
que lembramos no Passo 2:
Passo 7
Por último, substituímos
de volta por
para voltar à variável original:
Resposta
A antiderivada de
é
, onde
é a constante de integração.
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. Se as condições iniciais são
e
, determine
.
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