Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a antiderivada (ou integral indefinida) da função . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração de funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar da integral da função e aplicar a regra da substituição para funções compostas.

Passo 2

Sabemos que a integral de é uma função básica que resulta em . Ou seja,
onde é a constante de integração.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é . Aqui, temos uma função composta: onde . Para integrar essa função, usamos a regra da substituição.

Passo 4

Aplicando a substituição, deixamos . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:

Passo 6

Agora, sabemos que:
Então,

Passo 7

Voltando à variável original, já que , substituímos por :

Resposta

A antiderivada de é:

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;
Use as integrais de linha do item (a) para encontrar o centróide da parte da região circular centrada na origem e raio contida no primeiro quadrante do plano .
Sabendo que , encontre o valor de cada uma das integrais a seguir, no intervalo indicado.
f)