Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a antiderivada (ou integral indefinida) da função
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração de funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar da integral da função
e aplicar a regra da substituição para funções compostas.
Passo 2
Sabemos que a integral de
é uma função básica que resulta em
. Ou seja,
onde
é a constante de integração.
Passo 3
No nosso caso, a função dentro da integral é
. Aqui, temos uma função composta:
onde
. Para integrar essa função, usamos a regra da substituição.
Passo 4
Aplicando a substituição, deixamos
. Então, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Passo 6
Agora, sabemos que:
Então,
Passo 7
Voltando à variável original, já que
, substituímos
por
:
Resposta
A antiderivada de
é:
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Use as integrais de linha do item (a) para encontrar o centróide da parte da região circular centrada na origem e raio
contida no primeiro quadrante do plano
.
Sabendo que
, encontre o valor de cada uma das integrais a seguir, no intervalo indicado.
f)
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