Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo. integral sec ^2(5 x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a antiderivada (ou integral indefinida) da função sec^2(5x). Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração de funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar da integral da função sec^2(x) e aplicar a regra da substituição para funções compostas.

Passo 2

Sabemos que a integral de sec^2(x) é uma função básica que resulta em tan(x). Ou seja,
integral sec^2(x) , dx = tan(x) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é sec^2(5x). Aqui, temos uma função composta: sec^2(u) onde u = 5x. Para integrar essa função, usamos a regra da substituição.

Passo 4

Aplicando a substituição, deixamos u = 5x. Então, a derivada de u em relação a x é du/dx = 5, ou seja, dx = du/5.

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral sec^2(5x) , dx = integral sec^2(u) cdot du5 = 15 integral sec^2(u) , du

Passo 6

Agora, sabemos que:
integral sec^2(u) , du = tan(u) + C
Então,
15 integral sec^2(u) , du = 15 tan(u) + C

Passo 7

Voltando à variável original, já que u = 5x, substituímos u por 5x:
15 tan(5x) + C

Resposta

A antiderivada de sec^2(5x) é:
15 tan(5x) + C

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