Use as integrais de linha do item (a) para encontrar o centróide da parte da região circular centrada na origem e raio contida no primeiro quadrante do plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o centróide de uma parte de uma região circular que está no primeiro quadrante do plano xy, com raio e centrada na origem. Para isso, vamos usar integrais de linha, que são úteis para calcular propriedades geométricas através de integrais ao longo de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o centróide. O centróide é o “centro de massa” de uma figura plana, ou seja, o ponto onde poderíamos equilibrar a figura se ela fosse feita de material de densidade uniforme. Para encontrar as coordenadas do centróide, usamos as seguintes fórmulas:
Aqui, é a área da região .
Passo 3
Como estamos trabalhando com uma parte de um círculo, é mais fácil usar coordenadas polares para calcular as integrais. Em coordenadas polares, as coordenadas e são expressas como:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. Como a região está no primeiro quadrante e tem raio , os limites são:
Passo 5
Agora, vamos calcular a área da região. Usando coordenadas polares:
Integramos em relação a primeiro:
Agora, integramos em relação a :
Passo 6
Vamos calcular :
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, substituímos:
Passo 7
Devido à simetria do problema em relação aos eixos e , a coordenada será igual à . Portanto: