Sabendo que
, encontre o valor de cada uma das integrais a seguir, no intervalo indicado.
f)
f)
Passo 1
Então, a gente tem que resolver a integral definida
. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de integrais, especialmente integrando funções polinomiais. Para resolver, vamos expandir o quadrado da expressão dentro da integral e depois integrar cada termo separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o quadrado da expressão
. Usando a identidade
, temos:
Passo 3
Agora, substituímos a expressão expandida na integral:
Passo 4
Vamos separar a integral em três partes:
Passo 5
Para integrar cada termo, usamos a fórmula
. Como os limites são simétricos e as potências são pares, podemos simplificar multiplicando por 2 e integrando de 0 a 1:
Passo 6
Aplicando a fórmula para cada termo:
Passo 7
Substituímos os resultados na expressão original:
Passo 8
Fazendo as contas:
Passo 9
Para somar as frações, encontramos o denominador comum, que é 105:
Passo 10
Somando os numeradores:
Então:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Use as integrais de linha do item (a) para encontrar o centróide da parte da região circular centrada na origem e raio
contida no primeiro quadrante do plano
.
Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
Sabendo que
, encontre o valor de cada uma das integrais a seguir, no intervalo indicado.
e)
e)
Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
;