Sabendo que integrala^b x^k d x=b^k+1-a^k+1k+1, encontre o valor de cada uma das integrais a seguir, no intervalo indicado.
f) integral-1^1(x^3-2 x)^2 d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral definida . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de integrais, especialmente integrando funções polinomiais. Para resolver, vamos expandir o quadrado da expressão dentro da integral e depois integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da expressão (x^3 - 2x)^2 = x^6 - 4x^4 + 4x^2 . Usando a identidade , temos:

Passo 3

Agora, substituímos a expressão expandida na integral:
integral-1^1 (x^3 - 2x)^2 dx = integral-1^1 (x^6 - 4x^4 + 4x^2) dx

Passo 4

Vamos separar a integral em três partes:
integral-1^1 x^6 dx - 4 integral-1^1 x^4 dx + 4 integral-1^1 x^2 dx

Passo 5

Para integrar cada termo, usamos a fórmula integral-1^1 x^k dx = 2 integral0^1 x^k dx = 2 cdot 1^k+1k+1 = 2k+1 . Como os limites são simétricos e as potências são pares, podemos simplificar multiplicando por 2 e integrando de 0 a 1:

Passo 6

Aplicando a fórmula para cada termo:
integral-1^1 x^6 dx = 27
integral-1^1 x^4 dx = 25
integral-1^1 x^2 dx = 23

Passo 7

Substituímos os resultados na expressão original:
27 - 4 cdot 25 + 4 cdot 23

Passo 8

Fazendo as contas:
27 - 85 + 83

Passo 9

Para somar as frações, encontramos o denominador comum, que é 105:
27 = 30105, -85 = -168105, 83 = 280105

Passo 10

Somando os numeradores:
30 - 168 + 280 = 142
Então:
142105

Resposta

O valor da integral é .

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