Sabendo que , encontre o valor de cada uma das integrais a seguir, no intervalo indicado.
f)

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral definida . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de integrais, especialmente integrando funções polinomiais. Para resolver, vamos expandir o quadrado da expressão dentro da integral e depois integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da expressão . Usando a identidade , temos:

Passo 3

Agora, substituímos a expressão expandida na integral:

Passo 4

Vamos separar a integral em três partes:

Passo 5

Para integrar cada termo, usamos a fórmula . Como os limites são simétricos e as potências são pares, podemos simplificar multiplicando por 2 e integrando de 0 a 1:

Passo 6

Aplicando a fórmula para cada termo:

Passo 7

Substituímos os resultados na expressão original:

Passo 8

Fazendo as contas:

Passo 9

Para somar as frações, encontramos o denominador comum, que é 105:

Passo 10

Somando os numeradores:
Então:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Use as integrais de linha do item (a) para encontrar o centróide da parte da região circular centrada na origem e raio contida no primeiro quadrante do plano .
Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
Sabendo que , encontre o valor de cada uma das integrais a seguir, no intervalo indicado.
e)
Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
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