Efetue a operação pedida:
d) (x^2 - 2*x - 8) / (2*x^2 - 8*x - 24) ÷ (x^2 - 9*x + 20) / (x^2 - 11*x + 30)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa divisão de frações algébricas! O enunciado pede para a gente calcular:
Aqui, estamos lidando com operações de frações que envolvem polinômios. Para resolver, vamos precisar saber como fatorar polinômios e como dividir frações, que na prática é multiplicar pela fração inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dividir frações é igual a multiplicar pela fração inversa. Então, podemos reescrever a operação assim:

Passo 3

Agora, vamos fatorar todos os polinômios que podemos. Fatorar significa escrever o polinômio como um produto de dois ou mais fatores.
Vamos começar com o numerador da primeira fração:
Procuramos dois números que multiplicados dão -8 e somados dão -2. Esses números são -4 e +2.
Então:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador da primeira fração:
Primeiro, podemos tirar um fator comum de 2:
Agora, vamos fatorar o polinômio dentro dos parênteses:
Procuramos dois números que multiplicados dão -12 e somados dão -4. Esses números são -6 e +2.
Então:
Portanto:

Passo 5

Vamos fatorar o numerador da segunda fração:
Procuramos dois números que multiplicados dão +20 e somados dão -9. Esses números são -4 e -5.
Então:

Passo 6

Agora, fatoramos o denominador da segunda fração:
Procuramos dois números que multiplicados dão +30 e somados dão -11. Esses números são -5 e -6.
Então:

Passo 7

Agora, substituímos todos os fatores fatorados na expressão original:

Passo 8

Antes de multiplicar, vamos cancelar os fatores que aparecem tanto no numerador quanto no denominador:
  • aparece no numerador e no denominador.
  • aparece no numerador e no denominador.
  • aparece no numerador e no denominador.
  • aparece no numerador e no denominador.
Após cancelar, fica:

Resposta

A operação resulta em 1/2.

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