A eficiência de conversão de uma turbina hidráulica, eta(h), depende da altura h da queda d
eta(h) = k / (1 + e^(-a h))
onde k e a são constantes positivas.
O que esses limites indicam sobre o comportamento da eficiência da turbina para quedas d

Passo 1

Vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente tem uma fórmula que mostra como a eficiência de uma turbina hidráulica, representada por eta(h), depende da altura h da queda d’água. A fórmula é:
Aqui, k e a são constantes positivas. O que precisamos descobrir são os limites dessa eficiência quando a altura da queda h tende a valores muito pequenos (próximo de 0) e muito grandes (tendendo ao infinito). Isso vai nos mostrar como a eficiência se comporta nessas situações extremas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um limite. Limite é uma ferramenta matemática que nos permite saber como uma função se comporta quando a variável independente (nesse caso, h) se aproxima de um certo valor. Aqui, vamos calcular dois limites:
  1. Quando h tende a 0.
  2. Quando h tende ao infinito ( ).

Passo 3

Vamos calcular o limite de eta(h) quando h tende a 0:
Quando h se aproxima de 0, o termo também se aproxima de 0. Sabemos que , então:
Substituindo na expressão:
Então, quando a altura da queda d’água é muito pequena, a eficiência da turbina se aproxima de .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de eta(h) quando h tende ao infinito:
Quando h cresce sem limites, o termo tende a -infinito. Sabemos que , então:
Substituindo na expressão:
Portanto, quando a altura da queda d’água é muito grande, a eficiência da turbina se aproxima de k.

Resposta

Os limites mostram que quando a altura da queda h tende a 0, a eficiência da turbina eta(h) se aproxima de . Já quando h tende ao infinito, a eficiência se aproxima de k.

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