A eficiência de conversão de uma turbina hidráulica, eta(h), depende da altura h da queda d
eta(h)=k1+e^-a h
onde k e a são constantes positivas.
Determine lim h 0 eta(h) e lim h infty eta(h).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a eficiência de conversão de uma turbina hidráulica, representada pela função , onde e são constantes positivas. O que precisamos fazer é encontrar os limites dessa função quando a altura da queda d’água tende a 0 e ao infinito. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a função eta(0) = k1 + e^-a cdot 0 = k1 + e^0 = k1 + 1 = k2 quando se aproxima de 0. Para isso, vamos substituir por 0 na expressão de :
Então, quando tende a 0, a eficiência se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando limh infty e^-a h = 0 tende ao infinito ( limh infty eta(h) = limh infty k1 + e^-a h = k1 + 0 = k ). Analisamos o termo nessa situação. Como é uma constante positiva, quando cresce sem limite, também cresce, e tende a 0:
Substituindo esse resultado na função :

Resposta

Portanto, os limites da eficiência limh 0 eta(h) = k2 são:
limh infty eta(h) = k

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