O eixo de aço ( G=80 GPa ) da figura está em equilíbrio sob os momentos torques aplicados como mostrado. A tensão tangencial máxima no segmento com 160 mm de diâmetro é 120 MPa , e a rotação da extremidade C com relação à seção A é 0,018 rad, no sentido trigonométrico, olhando-se da esquerda. Determine os momentos torque T1 e T2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um eixo de aço que está em equilíbrio sob certos momentos torques. A gente precisa descobrir os momentos torques e . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de torque, equilíbrio de momentos e a relação entre tensão tangencial, torque e diâmetro. Além disso, vamos precisar lembrar como calcular a rotação em um eixo usando a fórmula de torsão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a tensão tangencial ( tau = T cdot rJ ), o torque ( J = pi cdot d^432 ), e o diâmetro ( ) do eixo. A fórmula que relaciona esses valores é:
Onde:
  • é a tensão tangencial,
  • é o torque,
  • é o raio do eixo,
  • é o momento polar de inércia da seção transversal.
Como o eixo é circular, o momento polar de inércia ( ) para uma seção circular é:
Vamos calcular usando o diâmetro dado de 160 mm.

Passo 3

Calculando o momento polar de inércia ( d = 160 , mm J = pi cdot (0,160 , m)^432 approx 3,1416 cdot 0,0006553632 approx 6,45 times 10^-5 , m^4 ):

Passo 4

Agora, vamos relacionar a tensão tangencial máxima ( T = tau cdot Jr ) com o torque. Rearranjando a primeira fórmula para encontrar r = d2 = 0,1602 = 0,080 , m :
T = 120 times 10^6 , Pa cdot 6,45 times 10^-5 , m^40,080 , m approx 96 times 10^3 , N·m
O raio ( ) é metade do diâmetro:
Substituindo os valores:
Então, o torque total no eixo é aproximadamente 96 kN·m.

Passo 5

Sabemos que o eixo está em equilíbrio, ou seja, a soma dos torques aplicados deve ser igual a zero. Se T1 + T2 = 96 times 10^3 , N·m e theta = T cdot LG cdot J são os torques aplicados, temos:
T = theta cdot G cdot JL = 0,018 cdot 80 times 10^9 , Pa cdot 6,45 times 10^-5 , m^41 , m approx 93,12 times 10^3 , N·m
Também, sabemos que a rotação ( ) está relacionada ao torque através da fórmula de torsão:
Onde:
  • ,
  • é o comprimento da seção onde a rotação ocorre.
Vamos considerar que é igual a 1 metro para simplificar, já que não foi dado no enunciado. Rearranjando para :

Passo 6

Agora, voltando ao equilíbrio dos torques:
T1 + T2 = 96 times 10^3 , N·m T = 93,12 times 10^3 , N·m
Assumindo que 2T = 96 times 10^3 , N·m T = 48 times 10^3 , N·m e , temos:

Resposta

Os momentos torques são e .

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