Um momento de torção
é aplicado ao cilindro maciço de bronze. Determinar:
a) A máxima tensão de cisalhamento;
b) A tensão de cisalhamento no ponto
que fica numa circunferência de 15 mm de raio desenhada na seção extrema do cilindro;
c) A parcela do momento resistida pelo cilindro interior de 15 mm de raio.
a) A máxima tensão de cisalhamento;
b) A tensão de cisalhamento no ponto
c) A parcela do momento resistida pelo cilindro interior de 15 mm de raio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um cilindro maciço de bronze recebendo um momento de torção de
. Vamos resolver três partes:
a) A máxima tensão de cisalhamento;
b) A tensão de cisalhamento no ponto com raio de 15 mm;
c) A parcela do momento resistida pelo cilindro interior de 15 mm de raio.
a) A máxima tensão de cisalhamento;
b) A tensão de cisalhamento no ponto
c) A parcela do momento resistida pelo cilindro interior de 15 mm de raio.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre torção em cilindros sólidos e as fórmulas que relacionam torque, tensões e raio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a máxima tensão de cisalhamento no cilindro. Quando um torque é aplicado a um cilindro sólido, as tensões de cisalhamento variam com o raio. A máxima tensão ocorre na superfície externa do cilindro.
A fórmula para a tensão de cisalhamento máxima (
) em um cilindro sólido é:
Onde:
-
é o torque aplicado, -
é o raio externo, -
é o momento polar de inércia para um cilindro maciço, que é dado por:
Passo 3
Primeiro, precisamos determinar o raio externo do cilindro. Como não foi dado, vamos supor que o raio externo seja
. No entanto, para a parte (a), sem um raio específico, não podemos calcular um valor numérico. Vamos então seguir para a parte (b), onde o raio é dado como 15 mm.
Passo 4
Na parte (b), queremos a tensão de cisalhamento no ponto
com raio
.
Usando a fórmula da tensão de cisalhamento:
Primeiro, calculamos
para o cilindro:
Mas aqui, precisamos do raio total do cilindro para calcular
. Vamos assumir que o raio total seja maior que 15 mm. Sem essa informação, só podemos expressar
em termos de
.
Passo 5
Passando para a parte ©, queremos a parcela do momento resistida pelo cilindro interior de 15 mm de raio.
A fração do torque resistido por um raio interno
em relação ao raio total
é:
Substituindo
:
Resposta
Sem o raio externo do cilindro, não podemos calcular os valores numéricos exatos para as partes (a), (b) e ©. Com o raio total, aplicaríamos as fórmulas mencionadas para encontrar a máxima tensão de cisalhamento, a tensão no ponto
e a parcela do momento resistido pelo cilindro interior de 15 mm de raio.