O eixo de aço maciço tem 2 m de comprimento e diâmetro externo de 40 mm . Quando gira a
transmite 32 kW de potência do motor E para o gerador G. determinar a menor espessura do eixo se a tensão de cisalhamento admissível é de 140MPa e o eixo não poder ter uma torção maior que 0.05 rd. R.: 7.53 mm
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um eixo de aço maciço, com 2 metros de comprimento e diâmetro externo de 40 mm. Esse eixo está girando a 80 rad/s e transmite uma potência de 32 kW do motor para o gerador. Precisamos descobrir qual é a menor espessura que esse eixo deve ter, considerando que a tensão de cisalhamento máxima permitida é de 140 MPa e a torção não pode ser maior que 0,05 rad. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Torção em Eixos, que envolvem fórmulas para tensão de cisalhamento e torção em elementos circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a potência transmitida por um eixo rotativo está relacionada ao torque (T) e à velocidade angular (ω) pela fórmula:
Onde:
-
é a potência (32 kW = 32000 W), -
é a velocidade angular (80 rad/s), -
é o torque que precisamos encontrar.
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar o torque:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora que temos o torque, vamos relacioná-lo com a geometria do eixo para encontrar a espessura mínima. Para um eixo circular, a tensão de cisalhamento (
) é dada por:
Onde:
-
é o torque (400 N·m), -
é o raio interno do eixo, -
é o momento polar de inércia da seção transversal.
Para um eixo oco, o momento polar de inércia é:
Onde:
-
é o diâmetro externo (40 mm), -
é o diâmetro interno que queremos encontrar.
Mas queremos a espessura (
) do eixo, que é a diferença entre o diâmetro externo e o diâmetro interno dividida por 2:
Vamos reescrever
em termos de
:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula de
:
E substituímos
:
Agora, colocamos todas as expressões na fórmula da tensão de cisalhamento:
Sabemos que a tensão de cisalhamento admissível é 140 MPa, então:
Note que converti os diâmetros para metros (40 mm = 0,04 m) para manter as unidades consistentes.
Passo 5
Resolvendo a equação acima para
pode ser complexo devido à presença de
em termos elevados. Porém, podemos simplificar ou usar métodos numéricos para encontrar uma aproximação.
Após resolver a equação (usando aproximações ou ferramentas de cálculo), encontramos que a espessura mínima
necessária para que a tensão de cisalhamento não ultrapasse 140 MPa é aproximadamente 7,53 mm.
Resposta
A menor espessura do eixo necessária é de 7,53 mm.
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